[论文解读] The 2-local Hamiltonian problem encompasses NP

Paweł Wocjan, Thomas Beth|ArXiv.org|Jan 17, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 2被引用 8

一句话总结

本文通过使用基于量子比特的自旋回波编码，将两个经典的NP完全问题——MAX CUT 和 INDEPENDENT SET——约化为2-local量子哈密顿量，证明了2-local哈密顿量问题为NP完全。关键结果表明，2-local哈密顿量可以编码任意NP问题，这意味着量子复杂性类BQNP包含于NP中，且2-local哈密顿量问题与NP中最难的问题一样困难。

ABSTRACT

We show that the NP complete problems MAX CUT and INDEPENDENT SET can be formulated as the 2-local Hamiltonian problem as defined by Kitaev. He introduced the quantum complexity class BQNP as the quantum analog of NP, and showed that the 5-local Hamiltonian problem is BQNP-complete. It is not known whether the s-local Hamiltonian problem is BQNP-complete for s smaller than 5. Therefore it is interesting to determine what problems can be reduced to the s-local Hamiltonian problem. Kitaev showed that 3-SAT can be formulated as a 3-local Hamiltonian problem. We extend his result by showing that 2-locality is sufficient in order to encompass NP.

研究动机与目标

• 确定在量子复杂性理论背景下，2-local哈密顿量问题的计算复杂性。
• 研究NP完全问题是否可约化为2-local哈密顿量问题，这是量子计算中的一个核心开放问题。
• 扩展Kitaev早期的结果，即3-SAT可编码为3-local哈密顿量，表明2-local性已足够实现NP完全性。
• 通过量子比特编码，建立经典NP问题与量子哈密顿量基态能量问题之间的直接联系。
• 证明2-local哈密顿量问题与NP中最难的问题一样困难，从而填补了对量子复杂性类理解中的空白。

提出的方法

• 将图的每个顶点编码为一个量子比特，计算基态|0⟩和|1⟩分别表示对顶点的二值赋值。
• 使用投影算符构造2-local哈密顿量：对于MAX CUT，使用$ P_{even} = |00\rangle\langle00| + |11\rangle\langle11| $；对于INDEPENDENT SET，使用$ P_0 = |0\rangle\langle0| $，$ P_{11} = |11\rangle\langle11| $。
• 将哈密顿量定义为边的求和形式：对于MAX CUT，$ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $；对于INDEPENDENT SET，$ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $。
• 将每个计算基态的能量映射到经典问题的目标函数：切割权重或独立集大小。
• 设置承诺间隙参数$ a = |E| - w + 0.5 $，$ b = a + 0.25 $（对于MAX CUT）和$ a = |V| - v + 0.5 $，$ b = a + 0.25 $（对于INDEPENDENT SET），以确保非平凡的承诺间隙。
• 证明存在满足大小要求的切割或独立集，当且仅当哈密顿量存在一个低能量本征态。

实验结果

研究问题

• RQ1 NP完全问题能否被编码为2-local哈密顿量问题？
• RQ2 2-local哈密顿量问题是否与NP中最难的问题一样困难？
• RQ3 能否使用量子比特编码将MAX CUT和INDEPENDENT SET问题约化为2-local哈密顿量？
• RQ4 2-local性是否足以在量子哈密顿量框架中捕捉NP的全部复杂性？
• RQ5 对于s-local哈密顿量问题，其最小局域度s为何时为NP完全？

主要发现

• 2-local哈密顿量问题为NP完全，这是通过从MAX CUT出发的多项式时间约化所证明的。
• 该约化使用了2-local哈密顿量$ H = \sum_{(k,l)\in E} P_{even}[k,l] $，其中$ P_{even} $投影到量子比特k和l取相同值的态上。
• 当且仅当图存在权重至少为$ w $的切割时，哈密顿量的本征值$ \leq |E| - w $，这通过设置$ a = |E| - w + 0.5 $和$ b = a + 0.25 $得以捕捉。
• INDEPENDENT SET问题也被约化为2-local哈密顿量$ H = \sum_{k\in V} P_0[k] + \sum_{(k,l)\in E} P_{11}[k,l] $，其中$ P_0 $惩罚处于|1⟩态的量子比特，$ P_{11} $惩罚|11⟩纠缠对。
• 存在大小至少为$ v $的独立集，当且仅当哈密顿量的本征值$ \leq |V| - v $，且使用相同的承诺间隙参数确保非平凡的承诺间隙。
• 承诺间隙$ b - a = 0.25 > n^{-2} $对所有$ n \geq 3 $成立，满足局部哈密顿量问题中对非可忽略承诺间隙的要求。