[论文解读] The 2-page crossing number of $K_n$

Bernardo M. Ábrego, Oswin Aichholzer+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文证明了完全图 $K_n$ 的两页交叉数恰好为 $Z(n) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$，从而证实了一个长期存在的猜想。作者引入了 $k$-边与 $\leq\leq k$-边的拓扑推广，将组合工具扩展至非几何绘制情形，并利用这些工具刻画了最小交叉数的两页书图，证明当 $n$ 为偶数时唯一（模同胚等价），当 $n$ 为奇数时存在指数级多样性的最小交叉数两页书图。该关键结果解决了 $K_n$ 的两页交叉数问题。

ABSTRACT

Around 1958, Hill described how to draw the complete graph $K_n$ with [Z(n) :=1/4\lfloor \frac{n}{2} floor \lfloor \frac{n-1}{2} floor \lfloor \frac{n-2}{2}% floor \lfloor \frac{n-3}{2} floor] crossings, and conjectured that the crossing number $\crg (K_{n})$ of $K_n$ is exactly Z(n). This is also known as Guy's conjecture as he later popularized it. Towards the end of the century, substantially different drawings of $K_{n}$ with Z(n) crossings were found. These drawings are \emph{2-page book drawings}, that is, drawings where all the vertices are on a line $\ell$ (the spine) and each edge is fully contained in one of the two half-planes (pages) defined by $\ell$. The \emph{2-page crossing number} of $K_{n} $, denoted by $ν_{2}(K_{n})$, is the minimum number of crossings determined by a 2-page book drawing of $K_{n}% $. Since $\crg(K_{n}) \leν_{2}(K_{n})$ and $ν_{2}(K_{n}) \le Z(n)$, a natural step towards Hill's Conjecture is the %(formally) weaker conjecture $ν_{2}(K_{n}) = Z(n)$, popularized by Vrt'o. %As far as we know, this natural %conjecture was first raised by Imrich Vrt'o in 2007. %Prior to this paper, results known for $ν_2(K_n)$ were basically %the same as for $\crg (K_n)$. Here In this paper we develop a novel and innovative technique to investigate crossings in drawings of $K_{n}$, and use it to prove that $ν_{2}(K_{n}) = Z(n) $. To this end, we extend the inherent geometric definition of $k$-edges for finite sets of points in the plane to topological drawings of $K_{n}$. We also introduce the concept of ${\leq}{\leq}k$-edges as a useful generalization of ${\leq}k$-edges and extend a powerful theorem that expresses the number of crossings in a rectilinear drawing of $K_{n}$ in terms of its number of $(\le k)$-edges to the topological setting.

研究动机与目标

• 解决两页交叉数 $\nu_2(K_n)$ 是否等于 $Z(n)$ 的猜想，这是希尔著名交叉数猜想的一个较弱形式。
• 构建一个拓扑框架，将几何概念如 $k$-边与 $\leq k$-边推广至 $K_n$ 的抽象绘制中。
• 刻画所有最小交叉数的两页书图 $K_n$，并确定其在同胚与同构意义下的数量。
• 建立以 $\leq\leq k$-边为基准的拓扑交叉数公式，将平直绘制中的结果推广至拓扑情形。
• 提供一种结构化且组合化的证明，表明 $\nu_2(K_n) = Z(n)$，且不依赖于计算枚举。

提出的方法

• 通过在良好绘制中利用三角形定向来定义边的定向，引入 $k$-边的拓扑推广，使组合分析可超越几何设定。
• 将 $\leq\leq k$-边定义为 $\leq k$-边在拓扑绘制中的推广，以捕捉累积边数。
• 证明一个拓扑版本的交叉数公式，该公式以 $\leq\leq k$-边表达交叉数，扩展了平直绘制中已知结果。
• 利用推广后的 $\leq\leq k$-边框架，推导出两页书图中交叉数的下界。
• 构造显式两页书图族，实现 $Z(n)$ 个交叉，并利用新型边计数工具证明其为最小交叉数。
• 应用对称性与自同构论证对非等价绘制进行分类，证明偶数 $n$ 时唯一，奇数 $n$ 时呈指数增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 两页交叉数 $\nu_2(K_n)$ 的精确值是多少？是否等于 $Z(n)$？
• RQ2 如何将 $k$-边的概念从几何绘制推广至 $K_n$ 的拓扑绘制，以支持组合分析？
• RQ3 对于偶数与奇数 $n$，$K_n$ 的最小交叉数两页书图的结构与数量如何？
• RQ4 经典不等式 $E_{\leq k}(P) \geq 3\binom{k+2}{2}$ 是否可推广至拓扑绘制？若不能，何种替代框架可支持证明？
• RQ5 两页绘制的对称性与自同构如何影响非等价最小交叉数绘制的计数？

主要发现

• 两页交叉数 $\nu_2(K_n)$ 恰好为 $Z(n)$，证实了对所有 $n$ 都有 $\nu_2(K_n) = Z(n)$ 的猜想。
• 当 $n$ 为偶数时，$K_n$ 的最小交叉数两页书图在等价意义下唯一。
• 当 $n$ 为奇数时，至少存在 $2^{(n-5)/2}$ 个非同胚的最小交叉数两页书图，且对 $n \leq 37$ 的精确计数已计算得出。
• 非等价最小交叉数两页绘制的数量渐近增长约为 $2^{0.54n}$，接近下界 $2^{(n-5)/2}$。
• 在拓扑绘制中，不等式 $E_{\leq k}(D) \geq 3\binom{k+2}{2}$ 不再普遍成立，因此必须引入 $\leq\leq k$-边。
• 通过基于对称性的构造，实现了对最小交叉数两页绘制的显式刻画，表明所有此类绘制均可由单一基图通过群作用生成。