[论文解读] The 3-rainbow index of graph operations

Tingting Liu, Yumei Hu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文研究了各种图运算的3-彩虹指数，即彩虹连接的推广。针对k个连通图的笛卡尔积，建立了3-彩虹指数的上界$∑_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$，在特定结构条件下证明了等式成立，推导出字典序积和强积的界限，并分析了顶点分裂与边细分的影响，为这些运算提供了构造性且紧确的上界。

ABSTRACT

A tree $T$, in an edge-colored graph $G$, is called {\em a rainbow tree} if no two edges of $T$ are assigned the same color. A {\em $k$-rainbow coloring}of $G$ is an edge coloring of $G$ having the property that for every set $S$ of $k$ vertices of $G$, there exists a rainbow tree $T$ in $G$ such that $S\subseteq V(T)$. The minimum number of colors needed in a $k$-rainbow coloring of $G$ is the {\em $k$-rainbow index of $G$}, denoted by $rx_k(G)$. Graph operations, both binary and unary, are an interesting subject, which can be used to understand structures of graphs. In this paper, we will study the $3$-rainbow index with respect to three important graph product operations (namely cartesian product, strong product, lexicographic product) and other graph operations. In this direction, we firstly show if $G^*=G_1\Box G_2\cdots\Box G_k$ ($k\geq 2$), where each $G_i$ is connected, then $rx_3(G^*)\leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$. Moreover, we also present a condition and show the above equality holds if every graph $G_i (1\leq i\leq k)$ meets the condition. As a corollary, we obtain an upper bound for the 3-rainbow index of strong product. Secondly, we discuss the 3-rainbow index of the lexicographic graph $G[H]$ for connected graphs $G$ and $H$. The proofs are constructive and hence yield the sharp bound. Finally, we consider the relationship between the 3-rainbow index of original graphs and other simple graph operations : the join of $G$ and $H$, split a vertex of a graph and subdivide an edge.

研究动机与目标

• 确定图运算（尤其是图积和顶点/边修改）的3-彩虹指数。
• 在各种图运算下建立3-彩虹指数的紧上界。
• 将已知的彩虹连接结果扩展至更一般的参数——3-彩虹指数。
• 提供实现所推导界限的构造性着色，确保界限的紧致性。

提出的方法

• 使用构造性边着色技术，为积图和修改图构建3-彩虹着色。
• 本文证明了对于$k \geq 2$个连通图的笛卡尔积$G^* = G_1 \Box \cdots \Box G_k$，有$rx_3(G^*) \leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$。
• 确定了一个充分条件，使得等式$rx_3(G^*) = \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$成立。
• 针对字典序积$G[H]$，构造了一种着色方案，从而得到$rx_3(G[H])$的紧上界。
• 分析了顶点分裂与边细分，证明了所得图$G'$满足$rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$。
• 证明依赖于斯坦纳树与彩虹连通性的结构分析，结合对顶点集的归纳法与分类讨论。

实验结果

研究问题

• RQ1 多个连通图的笛卡尔积的3-彩虹指数是多少？
• RQ2 在何种条件下，笛卡尔积的3-彩虹指数等于其因子指数之和？
• RQ3 3-彩虹指数在字典序积运算下如何表现？
• RQ4 在顶点分裂或边细分后，可建立怎样的3-彩虹指数上界？
• RQ5 能否为强积图的3-彩虹指数构造紧确的上界？

主要发现

• 对于$k \geq 2$且每个$G_i$连通的笛卡尔积$G^* = G_1 \Box \cdots \Box G_k$，有$rx_3(G^*) \leq \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$。
• 若每个$G_i$满足与斯坦纳树和边着色相关的特定结构条件，则等式$rx_3(G^*) = \sum_{i=1}^{k} rx_3(G_i)$成立。
• 强积的3-彩虹指数上界作为笛卡尔积结果的推论得出。
• 对于连通图$G$和$H$的字典序积$G[H]$，通过构造性着色可得到$rx_3(G[H])$的紧上界。
• 将一个顶点分裂为两个后，3-彩虹指数至多增加1，即$rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$。
• 类似地，边细分后得到的图$G'$满足$rx_3(G') \leq rx_3(G) + 1$，且在某些情况下该界是紧确的。