[论文解读] The 4-Adic Complexity of A Class of Quaternary Cyclotomic Sequences with Period 2p

Shiyuan Qiang, Yan Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过在 $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 中引入一种新型二次高斯和 $G_p$，确定了周期为 $2p$ 的一类四元分圆序列的 4-adic 复杂度。结果表明，当 $5 \nmid p-2$ 时，4-adic 复杂度达到最大值 $\log_4(4^N - 1)$；否则为 $\log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$，证明了其在密码学应用中接近最优的复杂度。

ABSTRACT

In cryptography, we hope a sequence over $\mathbb{Z}_m$ with period $N$ having larger $m$-adic complexity. Compared with the binary case, the computation of 4-adic complexity of knowing quaternary sequences has not been well developed. In this paper, we determine the 4-adic complexity of the quaternary cyclotomic sequences with period 2$p$ defined in [6]. The main method we utilized is a quadratic Gauss sum $G_{p}$ valued in $\mathbb{Z}_{4^N-1}$ which can be seen as a version of classical quadratic Gauss sum. Our results show that the 4-adic complexity of this class of quaternary cyclotomic sequences reaches the maximum if $5 mid p-2$ and close to the maximum otherwise.

研究动机与目标

• 确定周期为 $2p$ 的四元分圆序列的 4-adic 复杂度。
• 解决目前在四元序列中计算 4-adic 复杂度的方法尚不完善，相较于二元序列而言的不足。
• 确立所提出的序列实现了接近最大值的 4-adic 复杂度，这对密码学安全性至关重要。
• 引入并利用一种改进的二次高斯和 $G_p$ 在 $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 中作为关键分析工具。

提出的方法

• 基于模 $2p$ 的分圆类与勒让德符号划分，在 $\mathbb{Z}_4$ 上定义一个周期为 $2p$ 的四元序列 $A$。
• 引入一个 4-adic 高斯和 $G_p = \sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) 4^{2a} \mod (4^N - 1)$，作为经典二次高斯和的一种变体。
• 在模 $4^N - 1$ 下，将 4-adic 复杂度生成器 $S_A(4) = \sum_{i=0}^{N-1} a(i) 4^i$ 用 $G_p$ 表示。
• 通过将 $\gcd(S_A(4), 4^N - 1)$ 分解为 $d_+ = \gcd(S_A(4), 4^p + 1)$ 和 $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1)$ 两部分来分析。
• 利用勒让德符号的性质与模运算，评估 $d_+$ 和 $d_-$，特别关注其是否能被 5 及大于等于 5 的素因子 $\ell$ 整除。
• 确立当 $5 \mid p-2$ 时 $d_+ = 5$，否则 $d_+ = 1$，而 $d_-$ 始终为 1，从而得出最终的复杂度表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 周期为 $2p$ 的四元分圆序列的 4-adic 复杂度是多少？
• RQ2 当 $p \equiv 2 \pmod{5}$ 时，4-adic 复杂度的行为与其它素数相比有何不同？
• RQ3 能否在 $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 中使用一种改进的二次高斯和来计算此类序列的 4-adic 复杂度？
• RQ4 该序列的 4-adic 复杂度是否接近理论最大值？
• RQ5 素数 5 在决定复杂度值方面起什么作用？

主要发现

• 当 $5 \nmid p - 2$ 时，四元分圆序列的 4-adic 复杂度达到最大可能值 $\log_4(4^N - 1)$。
• 当 $5 \mid p - 2$ 时，4-adic 复杂度为 $\log_4\left(\frac{4^N - 1}{5}\right)$，接近最大值。
• 值 $d = \gcd(S_A(4), 4^N - 1)$ 在 $5 \nmid p - 2$ 时为 1，在 $5 \mid p - 2$ 时为 5，决定了复杂度水平。
• 分析确认 $d_- = \gcd(S_A(4), 4^p - 1) = 1$ 对所有奇素数 $p$ 成立，确保该分量不会进一步降低复杂度。
• $\mathbb{Z}_{4^N - 1}$ 中的高斯和 $G_p$ 满足类似于经典二次高斯和的性质，从而能够推导出 $S_A(4)$。
• 结果表明，由于其高 4-adic 复杂度，该序列具有优异的密码学特性，尤其在 $p \not\equiv 2 \pmod{5}$ 时更为显著。