[论文解读] The Abel-Jacobi map of a moduli component of vector bundles on the cubic threefold

Dimitri Markushevich, Alexander S. Tikhomirov|ArXiv.org|Sep 24, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文研究一般三复数三次曲面上传递椭圆五次曲线族的阿贝尔-雅可比映射，证明其因式分解为稳定秩2向量丛模空间，其陈类满足 c₁=0, c₂=2。映射到中间雅可比簇被证明是平态的，该模空间参数化通过 Serre 构造从这些曲线构造出的丛，且纤维在希尔伯特曲面中形成5维线性系统。

ABSTRACT

The Abel-Jacobi map of the family of elliptic quintics lying on a general cubic threefold is studied. It is proved that it factors through a moduli component of stable rank 2 vector bundles on the cubic threefold with Chern numbers c_1=0, c_2=2, whose general point represents a vector bundle obtained by Serre's construction from an elliptic quintic. The elliptic quintics mapped to a point of the moduli space vary in a 5-dimensional projective space inside the Hilbert scheme of curves, and the map from the moduli space to the intermediate Jacobian is étale. As auxiliary results, the irreducibility of families of elliptic normal quintics and of rational normal quartics on a general cubic threefold is proved. This implies the uniqueness of the moduli component under consideration. The techniques of Clemens-Griffiths and Welters are used for the calculation of the infinitesimal Abel-Jacobi map.

研究动机与目标

• 理解一般三复数三次曲面上椭圆五次曲线族的阿贝尔-雅可比映射的几何结构。
• 建立三复数三次曲面上稳定秩2向量丛模空间分量的存在性与唯一性，其陈类满足 c₁=0, c₂=2。
• 分析阿贝尔-雅可比映射的纤维结构及其与曲线希尔伯特簇的关系。
• 证明从模空间到中间雅可比簇的映射是平态的，表明其具有单分支性质。
• 提供关于三复数三次曲面上椭圆正常五次曲线与有理正常四次曲线族的不可约性的基础结果。

提出的方法

• 利用 Clemens-Griffiths 和 Welters 的方法计算无穷小阿贝尔-雅可比映射。
• 应用 Serre 构造，将三复数三次曲面上的椭圆五次曲线与稳定秩2向量丛关联起来。
• 分析阿贝尔-雅可比映射的纤维作为曲线希尔伯特簇中5维线性系统。
• 运用形变理论与模理论研究稳定丛模空间分量的结构。
• 通过几何与上同调论证建立椭圆五次曲线与有理四次曲线族的不可约性。
• 依赖三复数三次曲面及其中间雅可比簇的几何性质，分析阿贝尔-雅可比映射的全局行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆五次曲线在三复数三次曲面上的阿贝尔-雅可比映射如何通过向量丛的模空间因式分解？
• RQ2 阿贝尔-雅可比映射在三复数三次曲面的曲线希尔伯特簇中的纤维结构为何？
• RQ3 三复数三次曲面上稳定秩2向量丛模空间分量（c₁=0, c₂=2）是否唯一且不可约？
• RQ4 从模空间到中间雅可比簇的诱导映射是否为平态？
• RQ5 希尔伯特簇在参数化三复数三次曲面上椭圆五次曲线与有理四次曲线族中起何作用？

主要发现

• 一般三复数三次曲面上椭圆五次曲线的阿贝尔-雅可比映射因式分解为稳定秩2向量丛模空间分量，其陈类满足 c₁=0, c₂=2。
• 该模空间分量的一般点对应于通过 Serre 构造从椭圆五次曲线得到的向量丛。
• 阿贝尔-雅可比映射在模空间点上的纤维在曲线希尔伯特簇中形成5维线性系统。
• 从模空间到中间雅可比簇的诱导映射是平态的，表明该映射为单分支且局部为同构。
• 一般三复数三次曲面上椭圆正常五次曲线族不可约，有理正常四次曲线族亦不可约。
• 这些曲线族的不可约性意味着所考虑模空间分量的唯一性。