[论文解读] The abelianization of the level L mapping class group

Andrew Putman|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 6

一句话总结

本文在 $ g \geq 3 $，$ n \in \{0,1\} $ 且 $ L $ 为奇数的条件下，计算了水平 $ L $ 映射类群的积分同调群 $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $。它建立了一个正合序列 $ 0 \to \wedge^3 H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $，其中 $ H(L) = H_1(\Sigma_{g,n}; \mathbb{Z}/L\mathbb{Z}) $，揭示了其交换化是通过 $ L $ 模同调的三重外幂对辛李代数 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ 的中心扩张。

ABSTRACT

We calculate the abelianizations of the level $L$ subgroup of the genus $g$ mapping class group and the level $L$ congruence subgroup of the $2g imes 2g$ symplectic group for $L$ odd and $g \geq 3$.

研究动机与目标

• 计算当 $ g \geq 3 $ 且 $ n \in \{0,1\} $ 时，水平 $ L $ 映射类群的积分第一同调群 $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $。
• 确定当 $ L $ 为奇数时，映射类群的水平子群的交换化结构。
• 阐明相对约翰逊同态以及辛李代数 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ 在同余子群同调中的作用。
• 精确描述同调正合序列中的核与余核，特别是 $ \wedge^3 H(L) $ 的贡献。

提出的方法

• 使用与短正合序列 $ 1 \to \mathcal{I}_{g,n} \to \operatorname{Mod}_{g,n}(L) \to \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) \to 1 $ 相关的群同调中的五项正合序列。
• 应用关于托里群同调的已知结果，特别是 $ H_1(\mathcal{I}_{g,n}; \mathbb{Z}) \cong \wedge^3 H \oplus (2\text{-挠}) $，并计算 $ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ 作用下的余不变量。
• 采用辛李代数 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $，定义为满足 $ A^t \Omega_g + \Omega_g A = 0 $ 的 $ 2g \times 2g $ 矩阵在 $ \mathbb{Z}/L\mathbb{Z} $ 上的集合，作为交换化的目标。
• 模仿李-苏查巴对 $ \operatorname{SL}_n(\mathbb{Z},L) $ 的论证，证明 $ H_1(\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L); \mathbb{Z}) \cong \mathfrak{sp}_{2g}(L) $。
• 在映射类群中使用交叉烛台关系，证明 $ L[T_{x_1}T_{x_2}^{-1}] = 0 $，从而表明同调中存在挠关系。
• 应用引理 4.4 证明余不变量商 $ (\wedge^3 H)_{\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L)} \cong \wedge^3 H(L) $，从而识别出交换化映射的核。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ L $ 为奇数且 $ g \geq 3 $ 时，水平 $ L $ 映射类群 $ \operatorname{Mod}_{g,n}(L) $ 的交换化结构是什么？
• RQ2 相对约翰逊同态 $ \tau_{g,1}(L) $ 如何贡献于 $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ 的同调？
• RQ3 辛李代数 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ 在 $ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ 的交换化中起什么作用？
• RQ4 为何 $ L $ 为奇数的条件对主要结果是必要的？该结果是否可推广至偶数 $ L $？
• RQ5 $ \operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L) $ 作用下 $ \wedge^3 H $ 的余不变量如何与 $ \wedge^3 H(L) $ 相关联？

主要发现

• 当 $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ 时，其交换化位于正合序列 $ 0 \to \wedge^3 H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_{g,1}(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $ 中，其中 $ H(L) = H_1(\Sigma_{g,1}; \mathbb{Z}/L\mathbb{Z}) $。
• 对于 $ \operatorname{Mod}_g(L) $，其交换化由 $ 0 \to (\wedge^3 H(L))/H(L) \to H_1(\operatorname{Mod}_g(L); \mathbb{Z}) \to \mathfrak{sp}_{2g}(L) \to 0 $ 给出。
• 核 $ \wedge^3 H(L) $ 源于相对约翰逊同态 $ \tau_{g,1}(L) $，该同态从 $ \operatorname{Mod}_{g,1}(L) $ 满射到 $ \wedge^3 H(L) $。
• 余核 $ \mathfrak{sp}_{2g}(L) $ 同构于 $ H_1(\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L); \mathbb{Z}) $，该同构通过受李-苏查巴启发的直接论证建立。
• 证明依赖于：当 $ L $ 为奇数时，$ H_1(\mathcal{I}_{g,n}; \mathbb{Z}) $ 中的 2-挠在 $ H_1(\operatorname{Mod}_{g,n}(L); \mathbb{Z}) $ 中映射为零。
• 余不变量商 $ (\wedge^3 H)_{\operatorname{Sp}_{2g}(\mathbb{Z},L)} $ 同构于 $ \wedge^3 H(L) $，这对识别交换化映射的核至关重要。