[论文解读] The accessibility of convex bodies and derandomization of the hit and run algorithm

Benoı̂t Collins, Termeh Kousha+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2013

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文引入了 R^d 中凸体的可访问性概念，证明了任意此类凸体均为 k-可访问的，其中常数仅依赖于维度 d。提出了一种使用固定方向集的去随机化 hit-and-run 算法，该算法以指数速度收敛到凸体上的均匀分布，收敛速率以内切球半径与直径之比及可访问性参数 k 表征。

ABSTRACT

We introduce the concept of accessibility and prove that any convex body $X$ in $\mathbb R^d$ is accessible with relevant constants depending on $d$ only. This property leads to a new algorithm which may be considered as a natural derandomization of the hit and run algorithm applied to generate a sequence of random points covering $X$ uniformly. We prove stability of the Markov chain generated by the proposed algorithm and provide its rate of convergence.

研究动机与目标

• 形式化并证明 R^d 中任意凸体均为仅依赖于 d 的 k 和 l 的 k-可访问性。
• 为凸体上的均匀采样开发一种确定性替代方案，以替代传统的随机 hit-and-run 算法。
• 建立由此产生的马尔可夫链对凸体上均匀（勒贝格）测度的指数收敛性。
• 基于几何参数（如内切球半径、直径和可访问性 k）提供收敛速率的显式界。
• 将该算法应用于量子信息与统计物理场景，如量子态和双随机矩阵。

提出的方法

• 定义 k-可访问性：从凸体 X 中的任意点出发，可在最多 k 步内沿一组固定的 l 个向量到达一个固定的内点 x*，且路径始终保持在 X 内部。
• 证明：若凸体包含一个内切 r-球且直径为 R，则其为 (d+1)-可访问的，方法是利用 S^{d-1} 上半径为 r/2 的球的有限覆盖。
• 利用约翰定理证明任意凸体均包含一个最大体积的椭球，从而可将问题约化为椭球情形。
• 通过在有限方向集 {e_1, ..., e_l} 上执行确定性步长，在 X 上构造一个马尔可夫链，确保该链不可约且非周期。
• 通过分析可访问性参数 k 与几何比值的关系，利用谱间隙建立马尔可夫链对均匀测度的指数收敛性。
• 将该算法应用于特定凸集：量子态、随机矩阵与双随机矩阵，给出显式界下的 k-可访问性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否每个 R^d 中的凸体均可在仅使用一组固定有限方向的前提下，从任意点在有限步内到达，且界仅依赖于 d？
• RQ2 是否存在一种去随机化的 hit-and-run 算法，仍能以指数速度收敛到凸体上的均匀分布？
• RQ3 所提出的确定性马尔可夫链的收敛速率是多少？其如何依赖于几何参数如 r/R 和 k？
• RQ4 该算法能否有效应用于量子信息中出现的结构化凸集，如量子态集合或双随机矩阵集合？
• RQ5 方向集的选择如何影响收敛速度？在何种最小 k 值下可保证指数收敛？

主要发现

• 任意 R^d 中的凸体关于有限向量集均为 (d+1)-可访问的，其中向量数量 l ≤ (1 + 2R/r)^d + d，R 为直径，r 为内切球半径。
• 所提出的去随机化算法以指数速度收敛到凸体上的均匀分布，收敛速率依赖于 r/R 比值与可访问性参数 k。
• 对于双随机矩阵集合，该算法为 (N-1)^3-可访问的，其中 k = (N-1)^3，l = N^2(N-1)^2，确保指数收敛。
• 收敛速率通过参数 α = (1 - θ)^{1/M} 量化，其中 M = N(N-1)^2，θ = b_{(N-1)^2} (N-1)^{-4N(N-1)^2}，给出明确的衰减界。
• 若集合不满足 k-可访问性，则该算法无法实现指数收敛；例如，一个相对于给定基不可访问的三角形仅能覆盖一个开稠密子集，而非全测度。
• 该方法为高维场景下标准 hit-and-run 采样提供了一种实用替代方案，尤其适用于相关子集（如 PPT 态）体积呈指数级小的情形。