[论文解读] The action of SL(2) on abelian varieties

Arnaud Beauville|ArXiv.org|May 11, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在极化阿贝尔簇 $A$ 的查沃群 $CH(A)$ 上构造了代数群 $σ\mathrm{L}_2$ 的自然作用，该作用通过可逆自对应实现。此作用将 $CH(A)$ 分解为有限维不可约表示，从而得出一个扭曲的硬莱夫谢茨定理：对于充分大对称类 $θ$，乘法映射 $θ^{g-2p+s}$ 诱导同构 $CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$，推广了代数几何中经典的莱夫谢茨型结果。

ABSTRACT

We show that the algebraic group SL(2) acts on any polarized abelian variety A through correspondences. As a consequence we recover the action of SL(2) on the Chow group CH(A) (with rational coefficients), and this gives rise to Lefschetz type properties for algebraic cycles on A .

研究动机与目标

• 通过提供 $σ\mathrm{L}_2$ 在 $CH(A)$ 上作用的详细阐述，填补文献中的空白，该作用虽曾被隐含或显式使用，但从未得到完整解释。
• 在极化阿贝尔簇 $A$ 上建立从 $σ\mathrm{L}_2$ 到可逆自对应群 $σ\mathrm{Corr}(A)^*$ 的自然同态。
• 利用 Demazure 的生成元与关系表示法，将已知的 $σ\mathrm{L}_2(\mathbb{Z})$ 作用扩展至完整的代数群 $σ\mathrm{L}_2$。
• 推导查沃群的新莱夫谢茨型定理，特别是格拉斯化的查沃群背景下扭曲的硬莱夫谢茨定理。

提出的方法

• 利用 Mukai 关于 $σ\mathrm{L}_2(\mathbb{Z})$ 在导出范畴 $\mathbf{D}(A)$ 上的作用结果，通过对应关系在 $CH(A)$ 上构造相应的作用。
• 应用 Demazure 对 $σ\mathrm{L}_2$ 的生成元与关系表示法，将 $σ\mathrm{L}_2(\mathbb{Z})$-作用扩展至完整的代数群 $σ\mathrm{L}_2$。
• 通过 $CH(A \times A)$ 中代数循环的复合定义作用，证明该作用保持有理等价性，并尊重由乘法-by-$n$ 自同态作用诱导的 $CH(A)$ 上的分次结构。
• 关键技术工具是陈示性类，它将导出范畴中的对应关系与查沃群运算联系起来，从而实现从 $\mathbf{D}(A)$ 到 $CH(A)$ 的自同构转移。
• 利用 $CH(A)$ 在 $n^*_A$ 作用下的特征空间分解 $CH^p_s(A)$，研究 $σ\mathrm{L}_2$ 在这些子空间上的作用，推导出对偶性与同构性结果。
• 证明对于充分大对称类 $θ$，乘法映射 $\times \theta^{g-2p+s}: CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$ 是同构，利用原初循环的结构及傅里叶变换的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将导出范畴 $\mathbf{D}(A)$ 上的 $σ\mathrm{L}_2(\mathbb{Z})$ 作用提升为阿贝尔簇查沃群 $CH(A)$ 上完整代数群 $σ\mathrm{L}_2$ 的作用？
• RQ2 在 $σ\mathrm{L}_2$ 作用下 $CH(A)$ 的精确分解结构是什么？它与 $n^*_A$-作用下特征空间的分次结构有何关系？
• RQ3 能否在格拉斯化的查沃群背景下建立 $CH(A)$ 的扭曲硬莱夫谢茨定理？在何种条件下，对充分大对称类的幂进行乘法能诱导同构？
• RQ4 负分次分量 $CH_s(A)$（$s < 0$）的消失性与乘法映射 $\times h^{g-2p}$ 在 $CH^p(A)$ 上的单射性之间存在何种关系？

主要发现

• 在 $CH(A)$ 上的 $σ\mathrm{L}_2$ 作用被构造为群同态 $\mathrm{SL}_2 \to \mathrm{Corr}(A)^*$，在有理等价类取值的查沃群上诱导出表示。
• 查沃群 $CH(A)$ 分解为 $σ\mathrm{L}_2$ 的不可约有限维表示的直和，其中分次 $CH^p_s(A)$ 对应于 $n^*_A$ 作用下的特征空间。
• 存在扭曲的硬莱夫谢茨同构：对于 $CH^1(A)$ 中的充分大对称类 $θ$，映射 $\times \theta^{g-2p+s}: CH^p_s(A) \to CH^{g-p+s}_s(A)$ 是同构。
• 过滤 $F^s CH^p(A) = \bigoplus_{t \geq s} CH^p_t(A)$ 被猜想为 Bloch-Beilinson 过滤，且对任意充分大类 $h$，乘法映射 $h^{q-p}$ 在 $F^{p+q-g} CH^p(A)$ 上是单射的。
• $CH^p(A) \to CH^{g-p}(A)$ 上的乘法映射 $\times h^{g-2p}$ 对所有 $p \leq g/2$ 是单射的，当且仅当对所有 $s < 0$ 有 $CH_s(A) = 0$，这确认了查沃群消失性与莱夫谢茨型单射性之间深层联系。
• 当 $D$ 为充分大除子且假设对所有 $s < 0$ 有 $CH_s(A) = 0$ 时，映射 $CH^p(A) \to CH^p(D)$ 在 $p \leq \frac{1}{2}(g-1)$ 时是单射的。