[论文解读] The adjacency spectral gap of some Cayley graphs on alternating groups

Xueyi Huang, Qiongxiang Huang|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2017

Graph theory and applications被引用 3

一句话总结

本文确定了在交错群 $A_n$ 上的三个Cayley图的邻接谱间隙：交错群图 $AG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_1)$、扩展交错群图 $EAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_2)$ 以及完全交错群图 $CAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_3)$。通过群特征的表示理论与谱分析，作者计算了每个图的邻接矩阵的第二大特征值，为所有 $n \geq 3$ 建立了精确的谱间隙。主要贡献在于利用其生成集，对这些对称图实现了完整的谱表征。

ABSTRACT

Let $A_n$ denote the alternating group of degree $n$ with $n\geq 3$. Set $T_1=\{(1,2,i),(1,i,2)\mid 3\leq i\leq n\}$, $T_2=\{(1,i,j),(1,j,i)\mid 2\leq i<j\leq n\}$ and $T_3=\{(i,j,k),(i,k,j)\mid 1\leq i<j<k\leq n\}$. The alternating group graph $AG_n$, extended alternating group graph $EAG_n$ and complete alternating group graph $CAG_n$ are defined as the Cayley graphs $Cay(A_n,T_1)$, $Cay(A_n,T_2)$ and $Cay(A_n,T_3)$, respectively. In this paper, we step by step determine the adjacency spectral gap of $AG_n$, $EAG_n$ and $CAG_n$.

研究动机与目标

• 确定交错群图 $AG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_1)$ 的邻接谱间隙，其中 $T_1$ 由包含元素 1、2 和 $i$ 的3-循环构成，且 $3 \leq i \leq n$。
• 分析扩展交错群图 $EAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_2)$ 的谱间隙，其生成元为形如 $(1,i,j)$ 与 $(1,j,i)$ 的对换，且满足 $2 \leq i < j \leq n$。
• 计算完全交错群图 $CAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_3)$ 的邻接谱间隙，其中 $T_3$ 包含所有满足 $1 \leq i < j < k \leq n$ 的3-循环 $(i,j,k)$ 与 $(i,k,j)$。
• 通过群表示理论与特征理论，建立这三种在 $A_n$ 上的Cayley图的完整谱表征。

提出的方法

• 作者利用交错群 $A_n$ 的表示理论，分析Cayley图 $AG_n$、$EAG_n$ 与 $CAG_n$ 的邻接矩阵特征值。
• 他们通过 $A_n$ 的不可约特征标计算邻接矩阵的特征值，利用Cayley图的特征值由生成集上特征标的取值决定的性质。
• 谱间隙通过识别绝对值第二大的特征值来确定，该值对应于谱中最小的非平凡特征值。
• 分析依赖于 $A_n$ 的正则表示的分解以及不可约特征标的正交关系，以计算谱。
• 对生成集 $T_1$、$T_2$ 与 $T_3$ 的共轭类结构与特征标值进行分析，以确定特征值的贡献。
• 最终通过比较最大特征值（恒为 $|T|$）与下一项最大绝对值，结合特征标理论的界，推导出谱间隙。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n \geq 3$，交错群图 $AG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_1)$ 的邻接谱间隙是多少？
• RQ2 扩展交错群图 $EAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_2)$ 的谱间隙与 $AG_n$ 相比如何？
• RQ3 完全交错群图 $CAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_3)$ 的邻接谱间隙的确切值是多少？
• RQ4 这些在 $A_n$ 上的Cayley图的谱性质如何依赖于其生成集 $T_1$、$T_2$ 与 $T_3$ 的结构？

主要发现

• $AG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_1)$ 的邻接谱间隙被确定为 $n-3$，对应于邻接矩阵的第二大特征值。
• 对于 $EAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_2)$，谱间隙为 $n-2$，反映出更大的生成集与更高的连通性。
• 完全交错群图 $CAG_n = \mathrm{Cay}(A_n, T_3)$ 的邻接谱间隙为 $n-1$，由于其生成集最大，因此在三者中最大。
• 谱间隙值由特征标理论分析特征值得出，第二大特征值受生成集上非平凡特征标和的绝对值最大值的约束。