[论文解读] The adjoint representation inside the exterior algebra of a simple Lie algebra

Corrado De Concini, Paolo Papi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明了从单李代数 $\mathfrak{g}$ 到其对偶的 $\mathfrak{g}$-不变多重线性交错形式的空间，记为 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$，在由 $\bigwedge \mathfrak{g}^*$ 中所有初等不变量（除去最高次的那一个）生成的外代数上构成一个秩为 $2r$ 的自由模。该结果通过一个对称双线性形式 $e(-,-)$ 及显式构造的生成元 $f_i, u_i$（其次数分别为 $2m_i$ 和 $2m_i-1$）建立，结构常数由 Chevalley 横向映射和根系数据确定。

ABSTRACT

For a simple complex Lie algebra $\mathfrak g$ we study the space of invariants $A=\left( \bigwedge \mathfrak g^*\otimes\mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$, (which describes the isotypic component of type $\mathfrak g$ in $ \bigwedge \mathfrak g^*$) as a module over the algebra of invariants $\left(\bigwedge \mathfrak g^* ight)^{\mathfrak g}$. As main result we prove that $A$ is a free module, of rank twice the rank of $\mathfrak g$, over the exterior algebra generated by all primitive invariants in $(\bigwedge \mathfrak g^*)^{\mathfrak g}$, with the exception of the one of highest degree.

研究动机与目标

• 描述伴随表示在 $\bigwedge \mathfrak{g}^*$ 的外代数中的同型分量作为代数 $(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 上的模。
• 确定 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 的模结构，该空间分类了从 $\mathfrak{g}$ 到 $\mathfrak{g}^*$ 的 $\mathfrak{g}$-等变多重线性交错形式。
• 建立 $A$ 是由所有初等不变量（除去最高次的那一个）生成的外代数上的秩为 $2r$ 的自由模，使用对称双线性形式 $e(-,-)$ 和显式生成元 $f_i, u_i$。
• 通过涉及横截法和根系数据的显式公式，计算结构常数 $c_{i,j}$ 以及最高次初等不变量 $P_r$ 对生成元的作用。

提出的方法

• 本文在 $A$ 上构造了一个取值于不变代数 $\Gamma = (\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 的分次对称双线性形式 $e(-,-)$，该形式由卡廷形式诱导。
• 定义了显式生成元 $f_i, u_i \in A$，其次数分别为 $2m_i$ 和 $2m_i - 1$，其中 $m_i$ 是根系的指数。
• 利用 Chevalley 的横截映射与限制定理，将形式 $e(-,-)$ 约化为取值于 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W$ 的双线性形式，作用于 Cartan 子代数上的 Weyl 群不变多项式。
• 通过配对 $e(f_i, u_j)$ 计算结构常数 $c_{i,j}$，该配对在 $m_i + m_j - 1 = m_k$ 时非零，此时其为 $P_k$ 的非零倍数，常数 $c_{i,j}$ 依赖于归一化方式。
• 对于 $D_{2n}$ 型，特别处理了指数 $m_n = m_{n+1} = 2n-1$ 的退化情形，其中 $e(f_i, u_j)$ 涉及 $P_n + P_{n+1}$ 或单独的 $P_n, P_{n+1}$，具体取决于下标。
• 通过自伴乘法公式 (1.5) 和 (1.6) 描述了最高次初等不变量 $P_r$ 对生成元的作用，涉及结构常数的比值 $c_i c_j^{-1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间 $A = (\bigwedge \mathfrak{g}^* \otimes \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 是否是初等不变量代数 $(\bigwedge \mathfrak{g}^*)^{\mathfrak{g}}$ 上的自由模？
• RQ2 作为由所有初等不变量（除去最高次的那一个）生成的子代数上的模，$A$ 的秩和生成元集是什么？
• RQ3 双线性形式 $e(f_i, u_j)$ 中的结构常数 $c_{i,j}$ 如何依赖于李代数 $\mathfrak{g}$ 的根系和指数？
• RQ4 最高次初等不变量 $P_r$ 对生成元 $f_i, u_i$ 的作用是什么？
• RQ5 当 $\mathfrak{g}$ 为 $D_{2n}$ 型时，即指数不互异时，结果有何不同？

主要发现

• 空间 $A$ 是由初等不变量 $P_1, \ldots, P_{r-1}$ 生成的外代数上的秩为 $2r$ 的自由模，显式生成元为 $f_i, u_i$，其次数分别为 $2m_i$ 和 $2m_i - 1$。
• 双线性形式 $e(f_i, u_j)$ 仅在 $m_i + m_j - 1 = m_k$ 对某个指数 $m_k$ 成立时非零，此时其为 $P_k$ 的非零倍数，常数 $c_{i,j}$ 依赖于归一化方式。
• 对于 $\mathfrak{g}$ 的 $D_{2n}$ 型，当 $i,j \notin \{n,n+1\}$ 时，$e(f_i, u_j)$ 涉及 $P_n + P_{n+1}$；对特定下标对则分别涉及 $P_n, P_{n+1}$，且 $e(f_n, u_{n+1}) = c_{n,n+1} P_{2n}$。
• 乘法 $P_r$ 关于 $e(-,-)$ 是自伴的，其对生成元的作用由递推公式 (1.5) 和 (1.6) 给出，涉及结构常数的比值 $c_i c_j^{-1}$。
• 通过幂和与 Pfaffian 计算了 $E_6$ 中的初等不变量 $A_2, A_6, A_8$，以及 $E_7$ 和 $E_8$ 中的 $A_2, A_8, A_{12}$，并利用标量积 $(da, db)$ 定义了更高阶的不变量。
• 在 $E_7$ 和 $E_8$ 中，标量积关系中的常数 $d_{i,j}$ 被显式列出，显示出非平凡关系，如 $6A_{18} \cong 7A_8 \circ A_{12}$ 和 $A_{14} \circ A_{18} \cong \frac{3}{4}A_{30}$。