[论文解读] The AE Theorem and addition theorems for quasi-convex functions

F. Reese Harvey, H. Blaine Lawson|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文建立了 AE 定理，证明了若一个局部拟凸函数的几乎处处 2-阶 jets 满足退化椭圆约束 $F$，则该函数是黏性 $F$-次解。该结果简化并统一了对拟凸函数次调和性的分析，使得退化椭圆 PDE 理论中出现了新的加法定理与比较原理。

ABSTRACT

The main point of this paper is to prove the following useful result: If the almost everywhere 2-jet of a locally quasi-convex function u satisfies a degenerate elliptic constraint F, then u is F-subharmonic, i.e., u is a viscosity F-subsolution. This AE Theorem makes otherwise difficult results transparent. Some instances of this are presented, including two versions of addition, and a comparison theorem.

研究动机与目标

• 建立局部拟凸函数成为黏性 $F$-次解的必要且充分条件，当其几乎处处的 2-阶 jets 满足退化椭圆约束 $F$ 时。
• 将先前关于 $F$-次调和性的结果从常系数情形推广至全部退化椭圆子方程类。
• 提供一个统一的框架，通过受复值次调和函数启发的势论方法分析次调和性。
• 在拟凸性假设下，证明 $F$-次调和函数的新加法定理。
• 在子方程包含条件 $G \subset \mathrm{Int}(F)$ 下，建立拟凸函数的严格比较原理。

提出的方法

• 通过上接触 jets 定义 $F$-次调和性：若上半连续函数 $u$ 在任意点的所有上接触 jets 均属于纤维 $F_x$，则 $u$ 是 $F$-次调和的。
• 对 $F$ 强制施加两个最小条件：(P) 退化椭圆性（在加上非负定矩阵后保持闭合），以及 (C) 闭性（以确保在极限下稳定）。
• 利用拟凸函数几乎处处二次可微的事实，分析此类函数的 2-阶 jets，并将其与子方程 $F$ 关联。
• 证明 AE 定理：若局部拟凸函数 $u$ 几乎处处满足 $J^2_x u \in F$，则 $u \in F(X)$，即 $u$ 是黏性 $F$-次解。
• 将 AE 定理应用于推导基本加法定理：若 $u \in F(X)$，$v \in G(X)$，则 $u+v \in \overline{F+G}(X)$，其中 $F,G$ 满足 (P) 和 (C)。
• 在加法定理与比较原理的证明中，使用紧致性论证与拟凸性，提取二阶导数的收敛序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个局部拟凸函数是退化椭圆 PDE 的黏性次解？
• RQ2 两个 $F$-与 $G$-次调和函数的和能否通过 $F+G$ 的纤维闭包来刻画？
• RQ3 当一个函数的子方程位于另一个函数子方程的内部时，拟凸函数是否满足严格比较原理？
• RQ4 AE 定理如何在缺乏完整 $C^2$ 正则性的情况下简化黏性次解的分析？
• RQ5 拟凸性在加法定理证明中如何促进二阶导数的收敛性？

主要发现

• AE 定理确立了：若局部拟凸函数的 2-阶 jets 几乎处处属于一个闭的、退化椭圆子方程 $F$，则该函数是黏性 $F$-次解。
• 基本加法定理成立：若 $u$ 与 $v$ 是局部拟凸函数，且 $u \in F(X)$，$v \in G(X)$，则 $u+v \in \overline{F+G}(X)$，在常系数情形下等式成立。
• 在常系数情形下，可省略拟凸性假设，加法定理对所有上半连续函数成立。
• 已证明严格比较原理：若 $G \subset \mathrm{Int}(F)$，且 $u \in G(\Omega)$，$v \in \widetilde{F}(\Omega)$，则 $u+v \leq 0$ 在 $\partial\Omega$ 上推出 $u+v \leq 0$ 在 $\Omega$ 上。
• 证明依赖于最大值点处上接触 jets 的存在性，以及在拟凸性有界下二阶导数的紧致性。
• 该结果推广了已知的比较结果，并为退化椭圆 PDE 中的黏性解提供了稳健的理论框架。