[论文解读] The algebra of bi-brackets and regularised multiple Eisenstein series

Henrik Bachmann|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文引入了双括号（bi-brackets），一类广义q-级数，其推广了多重除数和，并利用它们构造了两个正则化多重爱森斯坦级数——G^{ atural} 和 G^{ atural}，分别满足堆叠积（stuffle）与杂交积（shuffle）乘积关系。通过将这两个级数表示为多重zeta值与双括号的线性组合，作者推导出低权情形下多重爱森斯坦级数的有限双重杂交关系，拓展了先前结果，并为q-模拟多重zeta值提供了统一的代数框架。

ABSTRACT

We study the algebra of certain $q$-series, called bi-brackets, whose coefficients are given by weighted sums over partitions. These series incorporate the theory of modular forms for the full modular group as well as the theory of multiple zeta values (MZV) due to their appearance in the Fourier expansion of regularised multiple Eisenstein series. Using the conjugation of partitions we obtain linear relations between bi-brackets, called the partition relations, which yield naturally two different ways of expressing the product of two bi-brackets similar to the stuffle and shuffle product of multiple zeta values. Bi-brackets are generalizations of the generating functions of multiple divisor sums, called brackets, $[s_1,\dots,s_l]$ studied by the author and U. Kühn. We use the algebraic structure of bi-brackets to define further $q$-series $[s_1,\dots,s_l]^{sh}$ and $[s_1,\dots,s_l]^\ast$ which satisfy the shuffle and stuffle product formulas of MZV by using results about quasi-shuffle algebras introduced by Hoffman. In a recent work the author and K. Tasaka defined regularised multiple Eisenstein series $G^{sh}$, by using an explicit connection to the coproduct on formal iterated integrals. These satisfy the shuffle product formula. Applying the same concept for the coproduct on quasi-shuffle algebras enables us to define multiple Eisenstein series $G^\ast$ satisfying the stuffle product. We show that both $G^{sh}$ and $G^\ast$ are given by linear combinations of products of MZV and bi-brackets. Comparing these two regularized multiple Eisenstein series enables us to obtain finite double shuffle relations for multiple Eisenstein series in low weights which extend the relations proven before.

研究动机与目标

• 定义一类广义q-级数，称为双括号，通过其傅里叶展开统一模形式与多重zeta值。
• 构造两个正则化多重爱森斯坦级数 G^{ atural} 和 G^{ atural}，分别满足堆叠积与杂交积公式，将经典多重爱森斯坦级数扩展至所有允许的指标，超越收敛权范围。
• 通过包含双括号的线性组合，建立这些正则化级数与多重zeta值之间的联系。
• 通过比较两种正则化构造，推导出低权情形下多重爱森斯坦级数的有限双重杂交关系。
• 提供具有丰富代数结构的q-模拟多重zeta值，包含两种类似杂交积与堆叠积的乘法运算。

提出的方法

• 利用分拆共轭（partition conjugation）发展双括号的代数结构，得到两种与多重zeta值的杂交积与堆叠积相对应的乘积结构。
• G^{ atural} 和 G^{ atural} 的构造依赖于 quasi-shuffle 代数上的余乘法（coproduct），扩展了 [BT] 中用于杂交积正则化级数的方法。
• 证明双括号生成了两个正则化多重爱森斯坦级数傅里叶展开中的q-级数分量。
• 作者将 G^{ atural} 和 G^{ atural} 表示为多重zeta值与双括号乘积的线性组合，从而实现直接比较。
• 通过比较两种正则化级数，推导出有限双重杂交关系，揭示了低权情形下的新代数约束。
• 该框架使用字母集 {x,y} 和 {z1,z2,...} 上的自由结合代数的代数结构，其中杂交积与堆叠积通过标准组合规则定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对多重爱森斯坦级数进行正则化，使其在收敛权范围之外仍保持代数结构？
• RQ2 出现在正则化多重爱森斯坦级数傅里叶展开中的q-级数（双括号）的代数结构是什么？
• RQ3 是否能在单一框架中同时实现正则化多重爱森斯坦级数的杂交积与堆叠积关系？
• RQ4 通过比较两种正则化构造 G^{ atural} 和 G^{ atural}，会涌现出哪些有限双重杂交关系？
• RQ5 正则化多重爱森斯坦级数空间的维数在多大程度上与相应量子多重zeta值的分次空间的猜想维数一致？

主要发现

• 本文构造了两个正则化多重爱森斯坦级数 G^{ atural} 和 G^{ atural}，分别满足堆叠积与杂交积公式，将经典多重爱森斯坦级数扩展至所有允许的指标。
• G^{ atural} 和 G^{ atural} 均被表示为多重zeta值与双括号乘积的线性组合，提供了统一的代数框架。
• 在权至14的范围内推导出多重爱森斯坦级数的有限双重杂交关系，此类关系的数量与权至7的量子多重zeta值空间的猜想维数一致。
• 权为k的杂交积正则化多重爱森斯坦级数空间的维数至少为 gen_k - d'_k，且在权至7时猜想等式成立。
• 对 G^{ atural} 与 G^{ atural} 的比较表明，rds_k 个关系不足以捕捉所有 G^{ atural} 级数之间的关系，表明存在超出受限有限双重杂交关系的额外代数约束。
• 本文提供了强有力的证据，表明允许的杂交积正则化多重爱森斯坦级数空间的维数与猜想维数 d'_k（即 gr^W_k(qMZ) 的维数）一致，暗示存在深刻的代数同构关系。