[论文解读] The algebra of non-deterministic programs: demonic operators, orders and axioms

Robin Hirsch, Szabolcs Mikulás+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2020

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了在恶魔复合与精炼下二元关系代数的有限公理化，扩展了Zarecki对天使操作的研究。证明了此类代数的类作为有序半群是有限公理化的，而包含恶魔与天使操作的混合签名则不是有限公理化的，凸显了代数结构复杂性中的关键差异。

ABSTRACT

Demonic composition, demonic refinement and demonic union are alternatives to the usual "angelic" composition, angelic refinement (inclusion) and angelic (usual) union defined on binary relations. We first motivate both the angelic and demonic via an analysis of the behaviour of non-deterministic programs, with the angelic associated with partial correctness and demonic with total correctness, both cases emerging from a richer algebraic model of non-deterministic programs incorporating both aspects. Zareckii has shown that the isomorphism class of algebras of binary relations under angelic composition and inclusion is finitely axiomatised as the class of ordered semigroups. The proof can be used to establish that the same axiomatisation applies to binary relations under demonic composition and refinement, and a further modification of the proof can be used to incorporate a zero element representing the empty relation in the angelic case and the full relation in the demonic case. For the signature of angelic composition and union, it is known that no finite axiomatisation exists, and we show the analogous result for demonic composition and demonic union by showing that the same axiomatisation holds for both. We show that the isomorphism class of algebras of binary relations with the "mixed" signature of demonic composition and angelic inclusion has no finite axiomatisation. As a contrast, we show that the isomorphism class of partial algebras of binary relations with the partial operation of constellation product and inclusion (also a "mixed" signature) is finitely axiomatisable.

研究动机与目标

• 将Zarecki对天使操作下有序半群的有限公理化扩展至恶魔设定。
• 研究在恶魔复合与精炼下二元关系代数的同构类是否具有有限公理化。
• 分析结合恶魔与天使操作的混合签名（如恶魔复合与天使包含）的表达能力与公理化能力。
• 探讨具有星形积与包含关系的偏代数的有限公理化问题，与完整关系代数进行对比。
• 确定在恶魔与天使操作下涉及零元素（空关系或全关系）的各种关系代数的状态。

提出的方法

• 将Zarecki对有序半群的Cayley型表示适配至恶魔设定，使用偏代数与域条件。
• 将恶魔复合定义为 $ s*t = (s;t) \cap \{ (x,y) : s(x) \subseteq \text{dom}(t) \} $，以确保总正确性语义。
• 引入恶魔精炼 $ s \sqsubseteq t $ 为 $ \text{dom}(t) \subseteq \text{dom}(s) \land s|_{\text{dom}(t)} \subseteq t $，形成偏序。
• 引入星形积 $ s \cdot t $，一种仅在 $ \text{ran}(s) \subseteq \text{dom}(t) $ 时有定义的偏操作，推广了恶魔复合。
• 使用表示定理表明，每个有序预星形结构均可嵌入一个集合 $ X $ 上的关系代数中，且 $ 0 $ 映射为恒等空关系。
• 应用模型论技术证明混合签名（如 $ (*, \subseteq) $）的非有限公理化性，使用无限族的伪方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在恶魔复合与精炼下，二元关系代数的类是否具有有限公理化？
• RQ2 恶魔复合与天使包含（$ *, \subseteq $）的混合签名是否具有有限公理化？
• RQ3 在星形积与包含关系（$ \cdot, \subseteq $）下的二元关系偏代数类是否具有有限公理化？
• RQ4 由 $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ 与 $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $ 生成的种类之间有何关系？它们是否具有有限公理化？
• RQ5 类 $ VL_0(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ 是否可有限公理化？它与 $ VR(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{1}') $ 的关系如何？

主要发现

• 在恶魔复合与精炼下，二元关系代数的同构类作为有序半群类是有限公理化的。
• 相同的有限公理化也适用于表示空关系的零元素的恶魔情形下的代数。
• 混合签名 $ (*, \subseteq) $ —— 结合恶魔复合与天使包含 —— 不是有限公理化的，由无限族伪方程所证明。
• 在星形积与包含关系（$ \cdot, \subseteq $）下的二元关系偏代数类作为有序预星形结构类是有限公理化的。
• $ R(*, \sqcup\kern-6.0pt\sqcup, \emptyset) $ 类包含于 $ T(\mathbin{;}, \cup, \nabla) $ 类中，但两者是否相等，以及是否具有有限公理化，仍为开放问题。
• $ R(\mathbin{;}, \cup, \mathbf{0}) $ 类不是有限公理化的，$ R(*, \subseteq) $ 类亦然，确认了在混合签名中天使与恶魔操作之间存在结构性不对称性。