[论文解读] The algebraisation of higher Deligne--Lusztig representations

Zhe Chen, Alexander Stasinski|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文证明，对于偶数层 $ r = 2l $，在有限环 $ \mathcal{O}_r $ 上的半单代数群的高阶 Deligne–Lusztig 表示与从某些代数子群诱导出的表示一致，从而解决了 Lusztig 长期提出的难题。关键结果为同构 $ R_T^\theta \cong \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $，该同构确定了这些表示的维数为 $ |G_l^F| / |T_l^F| $，并验证了 Letellier 对 $ \mathrm{GL}_2 $ 和 $ \mathrm{GL}_3 $ 的猜想。

ABSTRACT

In this paper we study higher Deligne--Lusztig representations of reductive groups over finite quotients of discrete valuation rings. At even levels, we show that these geometrically constructed representations coincide with certain induced representations in the generic case; this gives a solution to a problem raised by Lusztig. In particular, we determine the dimensions of these representations. As an immediate application we verify a conjecture of Letellier for $\mathrm{GL}_2$ and $\mathrm{GL}_3$.

研究动机与目标

• 解决 Lusztig 提出的问题：在有限环 $ \mathcal{O}_r $ 上，几何构造的高阶 Deligne–Lusztig 表示与代数构造的诱导表示之间是否等价。
• 证明当 $ r = 2l $ 为偶数时，高阶 Deligne–Lusztig 表示 $ R_T^\theta $ 同构于诱导表示 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $，其中 $ \widetilde{\theta} $ 是 $ \theta $ 到 $ (TG^l)^F $ 的平凡扩张。
• 为这些表示提供维数公式：$ \dim R_T^\theta = |G_l^F| / |T_l^F| $，该公式在一般性条件与偶数层条件下成立。
• 验证 Letellier 关于有限李代数 $ \mathfrak{g}^F $ 的所有不可约不变特征标均出现在高阶 Deligne–Lusztig 特征标中的猜想，特别针对 $ \mathrm{GL}_2 $ 和 $ \mathrm{GL}_3 $。
• 将 $ \mathrm{GL}_n $ 情形下的技术推广至更高阶，利用 Lang 原像与 Frobenius 对偶性，建立上同调表示中的内积恒等式。

提出的方法

• 将诱导表示 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ 实现为某个代数群的 Lang 原像的上同调，使用 [Che] 中的构造并将其推广至更高阶。
• 利用 Greenberg 赋值函子 $ \mathcal{F} $，将 $ \mathcal{O}_r^{\mathrm{ur}} $ 上的概形与 $ \overline{\mathbb{F}}_q $ 上的代数群联系起来，从而实现几何数据向代数群结构的转移。
• 应用 Frobenius 对偶性与 Mackey 互反公式计算表示之间的内积，证明 $ R_T^\theta $ 与诱导表示的内积为 1。
• 利用当 $ r = 2l $ 时 $ G^l $ 为阿贝尔群的性质，使得 $ T^F $ 上的特征标 $ \theta $ 可平凡扩张至 $ (TG^l)^F $，这对代数构造至关重要。
• 在局部域的最大无瑕扩张的设定下工作，使用 $ \mathcal{O}_r^{\mathrm{ur}} $ 及其剩余域 $ k = \overline{\mathbb{F}}_q $，以定义群概形 $ \mathbb{G} $ 到 $ G $ 的基变换。
• 将高阶 Deligne–Lusztig 特征标限制在核 $ (G^1)^F \cong \mathfrak{g}^F $ 上，以研究有限李代数中的不变量，从而与 Letellier 的猜想建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ r = 2l $ 为偶数时，几何构造的高阶 Deligne–Lusztig 表示 $ R_T^\theta $ 是否与代数构造的诱导表示 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $ 一致？
• RQ2 在一般性与偶数层条件下，$ R_T^\theta $ 的维数是否可显式计算，且是否等于 $ |G_l^F| / |T_l^F| $？
• RQ3 Letellier 的猜想是否成立：即有限李代数 $ \mathfrak{g}^F $ 的所有不可约不变特征标是否均出现在某些高阶 Deligne–Lusztig 特征标中？
• RQ4 几何与代数构造之间的同构是否在 Mackey 公式下保持稳定？当 $ \theta $ 非一般时，该同构是否失效？
• RQ5 能否通过 Frobenius 对偶性与 Lang 原像技术，证明 $ R_T^\theta $ 与诱导表示的上同调内积为 1？

主要发现

• 对于偶数层 $ r = 2l $，高阶 Deligne–Lusztig 表示 $ R_T^\theta $ 同构于诱导表示 $ \mathrm{Ind}_{(TG^l)^F}^{G^F} \widetilde{\theta} $，其中 $ \widetilde{\theta} $ 是 $ \theta $ 到 $ (TG^l)^F $ 的平凡扩张，从而解决了 Lusztig 提出的问题。
• 在一般情形下，$ R_T^\theta $ 的维数精确为 $ |G_l^F| / |T_l^F| $，为这些表示的大小提供了精确公式。
• 当 $ \theta $ 非一般时，该同构失效，如 Lusztig 的反例所示，表明一般性假设的必要性。
• Letellier 关于 $ \mathfrak{g}^F $ 的所有不可约不变特征标均出现在高阶 Deligne–Lusztig 特征标中的猜想，已在 $ \mathrm{GL}_2 $ 与 $ \mathrm{GL}_3 $ 情形下得到验证，扩展了此前需满足 $ |\mathbb{F}_q| > 3 $ 的结果。
• 通过 Mackey 互反公式与 Frobenius 对偶性，本文证明了 $ (G^1)^F $ 的每个不可约特征标均出现在某个 $ R_{\mathfrak{t},\mathfrak{u}}^{\theta^1} $ 中，从而确认了对指定群的猜想。
• 建立了通过 Lang 原像实现诱导表示的显式上同调构造，为代数与几何构造之间提供了几何桥梁。