[论文解读] The almost sure limits of the minimal position and the additive martingale in a branching random walk

Yueyun Hu|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Nov 22, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文在边界情况下建立了积分检验，以刻画分支布朗运动中最小位置的几乎必然下确界以及加法鞅的上确界。利用Aïdékon与Shi的技术，证明了最小位置的liminf减去1/2 log n 几乎必然为 -1 倍的 log log n，并推导出加法鞅衰减速率的精确积分准则。

ABSTRACT

Consider a real-valued branching random walk in the boundary case. Using the techniques developed by Aïdékon and Shi [5], we give two integral tests which describe respectively the lower limits for the minimal position and the upper limits for the associated additive martingale.

研究动机与目标

• 在分支布朗运动的边界情况下，刻画最小位置的几乎必然下确界。
• 在边界情况下，推导加法鞅衰减速率的积分检验。
• 解决一个开放问题：最小位置减去1/2 log n 的liminf是否能被某个确定性序列从下方有界。
• 通过Seneta-Heyde标准化方法，建立加法鞅收敛的精确速率。
• 利用鞅技巧与大小加权测度，扩展最小位置与加法鞅波动行为的结果。

提出的方法

• 应用大小加权鞅测度与脊柱分解技术，分析边界情况下的分支布朗运动。
• 利用导数鞅 $ D_n $ 及其极限 $ D_ au $ 来控制加法鞅 $ W_n $ 的行为。
• 通过 $ bQ^{( heta)} $ 改变测度，研究 $ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} $ 的渐近行为，其中 $ ilde{W}_n^{( heta)} $ 是 $ W_n $ 的大小加权版本。
• 应用Doob的 $ L^2 $-不等式与方差界，证明在 $ bQ^{( heta)} $ 下，$ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} $ 几乎必然收敛到常数 $ heta $。
• 推导出涉及 $ rac{1}{t ext{exp}(f(t))} $ 的精确积分检验，以判断 $ bP^*(bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n < -f(n) ext{ i.o.}) $ 是 0 还是 1。
• 使用Borel-Cantelli论证与指数矩估计，控制最小位置下尾中罕见事件的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在分支布朗运动的边界情况下，$ bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n $ 的精确几乎必然下确界是什么？
• RQ2 能否找到一个确定性序列 $ f(n) $，使得 $ bP^*(bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n < -f(n) ext{ i.o.}) $ 为 0 或 1？
• RQ3 加法鞅 $ W_n $ 的精确收敛速率是什么？能否通过导数鞅 $ D_n $ 进行标准化？
• RQ4 加法鞅的行为如何通过脊柱分解与大小加权测度与最小位置相关联？
• RQ5 何种积分条件决定了最小位置是否能无限多次低于 $ -f(n) $？

主要发现

• 最小位置减去1/2 log n 的liminf 几乎必然为 $ - ext{log} hinspace ext{log} hinspace n $，即 $ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{1}{ ext{log} hinspace ext{log} hinspace n} ig( bM_n - frac{1}{2} ext{log} hinspace n ig) = -1 $。
• 一个积分检验决定了 $ bM_n - rac{1}{2} ext{log} hinspace n $ 是否无限多次低于 $ -f(n) $：$ bP^*( ext{event i.o.}) = 1 $ 当且仅当 $ extstyleigintsss^ty rac{dt}{t ext{exp}(f(t))} = ty $。
• 加法鞅 $ W_n $ 满足 $ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{ ext{log} hinspace W_n}{ ext{log} hinspace n} = -rac{1}{2} $，且 $ bP^* ext{-a.s.} \ ext{liminf}_{n oty} rac{1}{ ext{log} hinspace ext{log} hinspace n} ext{log} hinspace W_n = -rac{1}{2} $。
• 在大小加权测度 $ bQ^{( heta)} $ 下，$ rac{ ilde{W}_n^{( heta)}}{D_n^{( heta)}} \to \theta $ 几乎必然，其中 $ \theta $ 是通过导数鞅定义的正常数。
• 在 $ \frac{\tilde{W}_n^{(\theta)}}{D_n^{(\theta)}} $ 的方差以 $ n^{-\theta_2} $ 的多项式速率衰减，使得可以使用Borel-Cantelli引理证明几乎必然收敛。
• 结果确认最小位置在 $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ 尺度上波动，加法鞅的衰减速率由 $ \text{log}\thinspace\text{log}\thinspace n $ 控制，且积分检验提供了精确的概率阈值。