[论文解读] The Analogue of the Dedekind Eta Function for CY Manifolds I

Jamey Bass, Andrey Todorov|ArXiv.org|Mar 12, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文通过推导 (0,1)-形式上拉普拉斯算子的正则化行列式与威耳-彼得森度量及典范丛的全纯范数之间的关系，首次建立了卡拉比-丘（CY）流形的克罗内克极限公式的局部类比。它表明 $ dd^c log\det\Delta_{\tau,1} = -\operatorname{Im}(W.P.) $，意味着该行列式是某个线丛的全纯截面，其范数与判别式分支相关联，推广了椭圆曲线情形下的结果，即 $ \det\Delta_{\tau,1} = ( operatorname{Im}\tau)^2 | eta(\tau)|^4 $。

ABSTRACT

This is the first of a series of articles in which we are going to study the regularized determinants of the Laplacians of Calabi Yau metrics acting on (0,q) forms on the moduli space of CY manifolds with a fixed polarization. It is well known that in case of the elliptic curves the Kronecker limit formula gives an explicit formula for the regularized determinants of the flat metrics with fixed volume on the elliptic curves. The following formula holds in this case; the regularized determinant is the product of the imaginary part of the complex number in the Siegel upper half plane with the Dedekind eta function. It is well known fact that the Dedekind eta function in power 24 is a cusp automorphic form of weight 12 related to the discriminant of the elliptic curve. Thus we can view that the regularized determinant is the norm of a section of some power of the line bundle of the classes of cohomologies of (1,0) forms of the elliptic curves over its moduli space. Our purpose is to generalize this fact in the case of CY manifolds. In this paper we will establish the local analogue of the Kronecker limit formula for CY manifolds.

研究动机与目标

• 将椭圆曲线情形下的克罗内克极限公式推广至卡拉比-丘流形，扩展拉普拉斯算子正则化行列式与戴德金η函数之间的关系。
• 在固定极化下，建立卡拉比-丘流形模空间上 (0,1)-形式上拉普拉斯算子正则化行列式的局部公式。
• 证明该行列式的对数导数是威耳-彼得森度量的势函数，从而连接分析与几何不变量。
• 证明模空间上相对对偶化层的拓扑平凡性，意味着该行列式定义了一个线丛的全纯截面。
• 为通过卡拉比-丘度量的正则化行列式研究卡拉比-丘流形的代数判别式奠定基础。

提出的方法

• 利用拉普拉斯算子在 (0,q)-形式上的 zeta 函数的变分公式，计算正则化行列式的 Hessian 算子与反全纯导数。
• 以椭圆曲线情形下的克罗内克极限公式为模型，其中 $ \det\Delta_{\tau,1} = (\operatorname{Im}\tau)^2 |\eta(\tau)|^4 $，并将此结构推广至高维卡拉比-丘流形。
• 通过曲率形式的虚部计算威耳-彼得森度量，并利用热核迹公式将之与 $ \log\det\Delta_{\tau,q} $ 的 Hessian 算子联系起来。
• 运用绝热极限与迹类算子方法，分析模空间上谱 zeta 函数及其导数。
• 利用恒等式 $ \det\Delta_{\tau,n} = \det\Delta_{\tau,n-1}^{\prime\prime} $ 将 (0,n)-形式上的计算约化至低形式，借助对偶性与迹恒等式。
• 应用恒等式 $ \operatorname{Tr}(A \wedge \mathrm{id}_{n-1}) = \operatorname{Tr}(A) $（对 n 维空间上的线性算子成立），以计算向量丛值算子的迹。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线情形下的克罗内克极限公式如何推广至卡拉比-丘流形，以拉普拉斯算子的正则化行列式为框架？
• RQ2 卡拉比-丘流形模空间上 $ \log\det\Delta_{\tau,q} $ 的 Hessian 算子具有何种几何与分析意义？
• RQ3 (0,1)-形式上拉普拉斯算子的正则化行列式如何与威耳-彼得森度量及典范丛的全纯范数相关联？
• RQ4 卡拉比-丘流形模空间上相对对偶化层是否拓扑平凡？这对行列式函数有何含义？
• RQ5 能否通过迹恒等式与对偶性，将 (0,n)-形式上拉普拉斯算子的行列式约化为低形式的计算？

主要发现

• $ \log\det\Delta_{\tau,1} $ 的 Hessian 满足 $ dd^c \log\det\Delta_{\tau,1} = -\operatorname{Im}(W.P.) $，表明该行列式是威耳-彼得森度量的势函数。
• 正则化行列式 $ \det\Delta_{\tau,1} $ 与 $ (\operatorname{Im}\tau)^2 |\eta(\tau)|^4 $ 成比例，将椭圆曲线情形的结果推广至卡拉比-丘流形。
• 相对对偶化层 $ \pi_*\omega_{\mathcal{X}/\mathfrak{M}_L} $ 拓扑平凡，因其一阶陈类因 $ dd^c \log\det\Delta_{\tau,1} $ 恒为零而消失。
• 对于满足 $ (K_M)^{\otimes n} \cong \mathcal{O}_M $ 的 n 维卡拉比-丘流形，恒等式 $ dd^c \log\det\Delta_{\tau,n} = -\operatorname{Im}(W.P.) $ 成立，将结果推广至高阶形式。
• 在 $ \wedge^n V $ 上，算子 $ A \wedge \mathrm{id}_{n-1} $ 的迹等于 $ \operatorname{Tr}(A) $，该恒等式使 $ \det\Delta_{\tau,n} $ 可通过迹恒等式约化为 $ \det\Delta_{\tau,n-1}^{\prime\prime} $。