[论文解读] The anisotropic $\infty$-Laplacian eigenvalue problem with Neumann boundary conditions

Gianpaolo Piscitelli|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文研究了在 p → ∞ 时，具有 Neumann 边界条件的各向异性的 p-Laplacian 特征值问题的极限，证明了第一个非平凡特征值 Λ∞(Ω) 的下界为 2/diamF(Ω)。它证明了一个类似于 Szegö-Weinberger 的不等式，表明在测度固定的情况下，Wulff 形状使该特征值最大化，并表明在凸区域中，第一个 ∞-特征函数的极值仅在边界上取得，且内部不存在节点线。

ABSTRACT

We analize the limit problem of the anisotropic $p$-Laplacian as $p ightarrow\infty$ with the mean of the viscosity solution. We also prove some geometric properties of eigenvalues and eigenfunctions. In particular, we show the validity of a Szeg\"o-Weinberger type inequality.

研究动机与目标

• 分析各向异性 p-Laplacian 特征值问题在 Neumann 边界条件下当 p → ∞ 时的渐近行为。
• 在极限情况下表征第一个非平凡特征值 Λ∞(Ω)，并建立其几何下界。
• 在凸区域中证明第一个 ∞-特征值的 Szegö-Weinberger 型不等式。
• 研究 ∞-特征函数的几何性质，包括极值的位置以及在凸区域中不存在内部节点线。

提出的方法

• 使用粘性解理论分析各向异性 p-Laplacian 在 p → ∞ 时的极限问题。
• 定义极限算子 Q∞u = F²(∇u)(∇²u ∇ξF(∇u)) · ∇ξF(∇u)，该算子控制 ∞-Laplacian 的行为。
• 通过一个凸的、1-齐次范数 F(ξ) 及其对偶范数 Fo(ξ) 引入 Finsler 度量的概念。
• 引入各向异性的内接半径 iF(Ω) 和直径 diamF(Ω)，以表征极值几何性质。
• 使用逼近方法和比较原理，将 Neumann 与 Dirichlet 特征值联系起来。
• 运用对称化和重排技巧证明 Szegö-Weinberger 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 p → ∞ 时，各向异性 p-Laplacian 的第一个非平凡 Neumann 特征值的渐近行为是什么？
• RQ2 Wulff 形状是否在测度固定的所有集合中使第一个 ∞-特征值最大化，如同 Szegö-Weinberger 不等式所述？
• RQ3 在凸区域中，第一个 Neumann ∞-特征函数是否仅在边界上取得其最大值或最小值？
• RQ4 在凸区域中，第一个非平凡 ∞-特征函数的定义域内是否存在闭合的节点线？
• RQ5 第一个非平凡 Neumann ∞-特征值与第一个 Dirichlet ∞-特征值相比如何？

主要发现

• 第一个非平凡 Neumann 特征值 Λ∞(Ω) 满足 Λ∞(Ω) ≥ 2/diamF(Ω)，且等号成立当且仅当 Ω 为 Wulff 形状。
• 在所有测度相等的集合中，Wulff 形状 Ω# 最大化 Λ∞(Ω)，从而证明了一个 Szegö-Weinberger 型不等式。
• 第一个非平凡 Neumann ∞-特征值从不大于第一个 Dirichlet ∞-特征值：Λ∞(Ω) ≤ λ∞(Ω)，且等号成立当且仅当 Ω 为 Wulff 形状。
• 在定义域内不可能存在闭合的节点线；即特征函数不能在正测度的内部集合上为零，而在其他地方非零。
• 第一个 ∞-特征函数的最大值和最小值仅在边界 ∂Ω 上取得，且这些点位于最大各向异性距离处。
• 极值点位于满足 Fo(x − x̄) = diamF(Ω) 的点 x 和 x̄ 处，从而确认了边界点的几何极值性。