[论文解读] The annihilating-submodule graph of modules over commutative rings

H. Ansari-Toroghy, Shokoufeh Habibi|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2016

Rings, Modules, and Algebras参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文引入并分析了交换环上模的消去子模图 $AG(M)$，刻画了其为完全图或星形图的条件，并研究了其色数与团结构。主要贡献在于证明：对于满足 $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$ 的忠实模 $M$，色数 $\chi(AG(M)^*)$ 有限当且仅当环 $R$ 有有限多个极小素理想，此时 $\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$，其中 $k$ 为 $R$ 的极小素理想的个数。

ABSTRACT

Let M be a module over a commutative ring R. In this paper, we continue our study of annihilating-submodule graph AG(M) which was introduced in (The Zariski topology-graph of modules over commutative rings, Comm. Algebra., 42 (2014), 3283{3296). AG(M) is a (undirected) graph in which a nonzero submodule N of M is a vertex if and only if there exists a nonzero proper submodule K of M such that NK = (0), where NK, the product of N and K, is defined by (N : M)(K : M)M and two distinct vertices N and K are adjacent if and only if NK = (0). We obtain useful characterizations for those modules M for which either AG(M) is a complete (or star) graph or every vertex of AG(M) is a prime (or maximal) submodule of M. Moreover, we study coloring of annihilating-submodule graphs.

研究动机与目标

• 刻画满足消去子模图 $AG(M)$ 为完全图或星形图的模 $M$。
• 研究 $AG(M)$ 的所有顶点均为素子模或极大子模的条件。
• 研究 $AG(M)^*$ 的色数与团结构，尤其在有限性条件下。
• 建立在特定模下，色数、团数与环 $R$ 的极小素理想个数之间的等价关系。

提出的方法

• 定义消去子模图 $AG(M)$，其顶点为满足存在非零真子模 $K$ 使得 $NK = (0)$ 的非零真子模 $N$，当 $NL = (0)$ 时存在边连接 $N$ 与 $L$。
• 利用乘积 $NK = (N:M)(K:M)M$ 定义邻接关系，将消去理想图推广至模的情形。
• 引入 $AG(M)^*$ 为排除 $M$ 及其零化子为 $\operatorname{Ann}(M)$ 的子模的子图。
• 应用图论工具：色数 $\chi(G)$、团数 $\operatorname{cl}(G)$，以及二分图与完全图的性质。
• 应用模论工具：素子模与极大子模、根 $\operatorname{rad}_M(N)$，以及具有平凡根的忠实模。
• 利用环论结果：在约化环中极小素理想的有限性，以及与 $AG(R)$ 的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，消去子模图 $AG(M)$ 是完全图或星形图？
• RQ2 在何种条件下，$AG(M)$ 的所有顶点均为素子模或极大子模？
• RQ3 何时色数 $\chi(AG(M)^*)$ 有限？
• RQ4 色数 $\chi(AG(M)^*)$、团数 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ 与环 $R$ 的极小素理想个数之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下 $AG(M)^*$ 不含无限团？

主要发现

• 对于满足 $\operatorname{rad}_M(0) = (0)$ 的忠实 $R$-模 $M$，$\chi(AG(M)^*)$ 有限当且仅当 $R$ 有有限多个极小素理想。
• 在相同设定下，有 $\chi(AG(M)^*) = \operatorname{cl}(AG(M)^*) = k$，其中 $k$ 为 $R$ 的极小素理想的个数。
• 若 $AG(M)^*$ 不含无限团，则 $R$ 有有限多个极小素理想。
• 对于半素模 $M$，$\chi(AG(M)^*)$ 有限当且仅当 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ 有限当且仅当 $AG(M)^*$ 不含无限团。
• 若 $M$ 是诺特模，且对所有 $N \in \Upsilon = \{N \in V(AG(M)^*) \mid N^2 = (0)\}$，集合 $\Upsilon$ 中包含 $N$ 的子模有限，则在关于零化子和的某些条件下，$\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ 有限。
• 当 $M$ 是诺特模，且对每个 $N \in \Upsilon$，集合 $\{K < M \mid (N:M)M = (K:M)M\}$ 有限时，则 $\operatorname{cl}(AG(M)^*)$ 有限。