[论文解读] The antichain of excluded minors for the class of gammoids is maximal

Dillon Mayhew|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文证明了对于任意的gammoid $N$，存在一个gammoid类的排除极小元$M$，使得$M$具有$N$-极小元。证明通过在精心设计的gammoid中放松一个圈超平面来构造这样的$M$，表明gammoid的排除极小元集合在极小序下构成一个极大反链，并且存在无穷多个这样的排除极小元。

ABSTRACT

Every gammoid is a minor of an excluded minor for the class of gammoids.

研究动机与目标

• 解决Geelen提出的猜想：每个gammoid是否都是gammoid类的排除极小元的极小元。
• 确立gammoid的排除极小元集合在拟阵的极小序下构成一个极大反链。
• 证明gammoid类存在无穷多个排除极小元，扩展了关于可表示性和极小闭包的早期结果。

提出的方法

• 通过引入辅助顶点和弧，从给定的gammoid $N$ 构造一个gammoid $M'$，以形成具有圈超平面$C \cup D$ 的结构。
• 在$M'$中放松圈超平面$C \cup D$，构造一个新的拟阵$M$，通过违反Ingleton不等式证明$M$不是gammoid。
• 利用某些元素在极小元中自由放置的性质，证明$M$的所有单元素删除和收缩都是gammoid。
• 利用有向图中关联集合的结构来定义gammoid $L(G, S, T)$，并验证$M$的极小元保持gammoid性质。
• 利用严格gammoid与可交换拟阵之间的对偶性，确保在无限域上可表示性。
• 通过归纳法和结构分解，验证$M$具有$N$-极小元，且$M$的所有真极小元都是gammoid。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个gammoid $N$ 是否都作为gammoid类的某个排除极小元的极小元出现？
• RQ2 gammoid的排除极小元集合在极小序下是否构成一个极大反链？
• RQ3 能否构造一个gammoid类的排除极小元，使得其所有单元素极小元仍然是gammoid？
• RQ4 此类排除极小元的存在是否意味着gammoid类存在无穷多个排除极小元？
• RQ5 该构造能否在违反gammoid性质的同时保持极小闭包性质？

主要发现

• gammoid类的排除极小元反链是极大的，意味着每个拟阵要么是某个排除极小元的极小元，要么被包含在某个排除极小元的极小元中。
• gammoid类存在无穷多个排除极小元，这一事实通过构造一个具有所有gammoid作为极小元的单一排除极小元$M$得到证实。
• 所构造的拟阵$M$违反了Ingleton不等式，证明其在任何域上都不可表示，因而不是gammoid。
• $M$的所有单元素删除和收缩都是gammoid，确认$M$是gammoid类的排除极小元。
• 该构造纠正了matroidunion.org博客上先前草图中的错误，并为任意给定的gammoid $N$ 提供了此类$M$存在的严格证明。
• 该证明表明gammoid类不能通过排除极小元有限公理化，与有限域的情况形成对比。