[论文解读] The Approach of Turbulence to the Locally Homogeneous Asymptote as Studied using Exact Structure-Function Equations

R. J. Hill|ArXiv.org|Jun 12, 2002

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 32被引用 9

一句话总结

本文从纳维-斯托克斯方程和不可压缩性方程出发，通过空间、时间和系综平均，精确推导出结构-功能方程，无需近似，用于研究高雷诺数湍流中局域均匀性的趋近过程。关键贡献在于提出了一种迹形式，揭示了三阶结构函数的迹在量化惯性区标度律方面表现更优，且能量耗散率在无需平均或各向同性假设的情况下直接显现。

ABSTRACT

Equations that follow from the Navier-Stokes equation and incompressibility but with no other approximations are called "exact" here. Exact equations relating 2nd and 3rd-order structure functions are obtained, as is an exact incompressibility condition on the 2nd-order velocity structure function. Ensemble, temporal, and spatial averages are all considered because they produce different statistical equations. Exact equations have particularly simple forms for the cases of an average over a sphere in r-space as well as DNS that has periodic boundary conditions. The trace mitigates the effect of anisotropy in the equations, thereby revealing that the trace of the third-order structure function is expected to be superior for quantifying asymptotic scaling laws. The midpoint and the difference of the two points at which the hydrodynamic quantities are obtained are X and r; t is time. Dependencies on X and on the orientation of r and on t fade as the asymptotic statistical states of local homogeneity, local isotropy, and local stationarity, respectively, are approached. The exact equations are thus applicable to study of the approach toward those asymptotic states. A new definition of local homogeneity is contrasted with previous definitions. The approach toward the asymptotic state of local homogeneity is studied by using scale analysis to determine the required approximations and the approximate equations pertaining to experiments and simulations of the small-scale structure of high-Reynolds-number turbulence, but without invoking local isotropy. Those equations differ from equations for homogeneous turbulence.

研究动机与目标

• 通过纳维-斯托克斯方程和不可压缩性方程，推导出速度和压力梯度结构函数的精确、非微扰方程。
• 通过保留中点位置 X 和分离向量 r 的显式依赖关系，实现对湍流中局域均匀性趋近过程的研究。
• 为在直接数值模拟（DNS）和实验中评估结构-功能方程提供一个框架，无需依赖闭合近似。
• 阐明能量耗散率和不可压缩性在精确方程中的作用，特别是在缺乏局域各向同性条件下的情况。
• 通过识别三阶结构函数的迹作为惯性区行为的更优可观测量，提高标度律估计的准确性。

提出的方法

• 利用微分算子恒等式和变量变换（X, r, t）作为独立变量，推导精确方程，以保持完整的空间和时间依赖性。
• 应用三种平均方式——系综平均、时间平均和空间平均，每种均产生适用于理论、实验和模拟的独立统计方程。
• 在 r 空间引入球面对称平均，以简化方程并减轻各向异性影响，从而得到方向平均的结构函数。
• 通过尺度分析推导出适用于小尺度、高雷诺数湍流的近似方程，且不假设局域各向同性。
• 推导出第二阶结构函数的精确不可压缩性条件，表明其在小 r 处非零，这是由于大尺度非均匀性所致。
• 提出三阶结构函数方程的迹形式，明确包含能量耗散率，且无需平均或各向同性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从纳维-斯托克斯方程精确推导出结构-功能方程，而无需近似或假设局域各向同性？
• RQ2 在何种条件下，中点位置 X 的依赖关系可被忽略，从而标志局域均匀性的开始？
• RQ3 三阶结构函数的迹与其它分量相比，在揭示惯性区标度律方面有何不同？
• RQ4 r 空间中的球面对称平均在多大程度上简化了方程并降低了各向异性影响？
• RQ5 能量耗散率在精确方程中起什么作用？为何其出现无需平均或各向同性假设？

主要发现

• 三阶结构函数的精确迹方程明确包含了能量耗散率，且无需平均或局域各向同性假设，相较于先前的公式形式具有显著改进。
• r 空间中的球面对称平均简化了结构-功能方程，并减轻了各向异性影响，使得三阶结构函数的迹成为惯性区标度行为的更优可观测量。
• 推导出第二阶结构函数的精确不可压缩性条件，其在小 r 处保持非零，这是由于大尺度流动非均匀性所致。
• 尺度分析表明，在局域均匀性趋近过程中，必须保留与平均速度梯度和时间导数相关的项，从而否定了某些常见近似。
• 精确方程消除了为非均匀性而额外推导修正项的需要，因为所有此类效应均内在包含在形式体系中。
• 该方法使得可在 DNS 和实验中直接评估结构-功能方程，支持比以往依赖局域各向同性或经验修正的方法更精确地检验标度律。