[论文解读] The Approach to Ergodicity in the Quantum Baker's Map

Andrew N. Jordan, Mark Srednicki|ArXiv.org|Aug 14, 2001

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文表明，此前已知控制混沌系统中经典遍历性演化过程的Ruelle共振，同样控制了量子Baker映射中的量子时间关联函数以及可观测量矩阵元的统计方差。通过解析与数值方法，作者证明在半经典极限下，量子关联函数由描述经典趋于均匀分布的同一组共振控制，且对具有任意条带宽度的广义Baker映射，推导出了明确的公式。

ABSTRACT

We study the quantum mechanics of a generalized version of the baker's map. We show that the Ruelle resonances (which govern the approach to ergodicity of classical distributions on phase space) also appear in the quantum correlation functions of observables at different times, and hence control the statistical variance of matrix elements of observables (in the basis of eigenstates of the quantum time evolution operator). We illustrate this with numerical results.

研究动机与目标

• 研究Ruelle共振在广义Baker映射的量子关联函数中的作用。
• 将经典动力学衰减速率（即Ruelle共振）与量子统计性质（如矩阵元方差）相联系。
• 将先前关于原始Baker映射中Ruelle共振的研究扩展至具有任意条带宽度的广义版本。
• 通过数值方法证明，量子时间关联函数反映与经典分布相同的Ruelle共振。
• 建立量子时间演化算符的谱性质与经典遍历性之间通过Ruelle共振的直接联系。

提出的方法

• 广义Baker映射被定义为具有s个任意宽度w_a的条带，保持面积不变，从而可对经典动力学进行解析处理。
• 经典时间关联函数表示为Ruelle共振u_ℓ = ∑_a w_a^{ℓ+1}的和，其简并度为d_ℓ = ℓ+1。
• 在时间演化算符U的本征基下，对光滑可观测量A和B，数值计算量子时间关联函数Tr[BU^t A U^{-t}]。
• 通过经典Perron-Frobenius算子的幂的迹，利用谱行列式与动力学zeta函数，解析推导Ruelle共振。
• 进行多种参数的数值模拟，包括对无关参数的随机选择进行系综平均，以提高统计收敛性。
• 证明在半经典极限下，可观测量在U的本征基中的矩阵元统计方差由Ruelle共振控制，且结果具有定量一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否Ruelle共振——控制经典趋于遍历性的机制——也出现在广义Baker映射的量子时间关联函数中？
• RQ2 Ruelle共振如何影响时间演化算符本征基中可观测量矩阵元的统计方差？
• RQ3 能否通过谱行列式或动力学zeta函数，对广义Baker映射的Ruelle共振进行解析推导？
• RQ4 在半经典极限下，量子关联函数在多大程度上反映与经典分布相同的衰减速率？
• RQ5 Ruelle共振u_ℓ的简并度d_ℓ = ℓ+1在系统量子统计性质中起什么作用？

主要发现

• 广义Baker映射的Ruelle共振被解析推导为u_ℓ = ∑_{a=1}^s w_a^{ℓ+1}，且对ℓ = 0,1,2,…，其简并度d_ℓ = ℓ+1，确认了量子 regime 下的经典谱结构。
• 量子时间关联函数Tr[BU^t A U^{-t}]由控制经典趋于均匀分布的同一组Ruelle共振u_ℓ支配，关联函数可表示为∑_ℓ c_ℓ(t) u_ℓ^t。
• 数值结果表明，量子关联函数紧密遵循基于Ruelle共振的经典预测，仅在半经典极限下出现O(ħ)量级的偏差。
• 在U的本征基中，光滑可观测量矩阵元的统计方差由Ruelle共振直接控制，将量子涨落与经典动力学不稳定性相联系。
• 谱行列式d(z) = ∏_{ℓ=0}^∞ (1 - z^{-1} u_ℓ)^{ℓ+1}确认了共振及其简并度的解析推导。
• Ruelle共振u_0 = 1对应于遍历（均匀）分布，与经典与量子动力学的长时间极限一致。