[论文解读] The Approximation Ratio of the $k$-Opt Heuristic for the Euclidean Traveling Salesman Problem

Ulrich A. Brodowsky, Stefan Hougardy+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2021

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文确定了欧几里得旅行商问题的 $k$-Opt 启发式算法的近似比为 $\Theta(\log n / \log\log n)$（当常数 $k \geq 2$ 时），解决了长期存在的开放问题：首次为 $k \geq 3$ 建立了非平凡的下界，并将 $k=2$ 的上界进行了改进。该结果适用于所有满足 $1 \leq p < \infty$ 的 $p$-范数，基于平面性论证和对 2-Opt 最优路径的几何分析。

ABSTRACT

The $k$-Opt heuristic is a simple improvement heuristic for the Traveling Salesman Problem. It starts with an arbitrary tour and then repeatedly replaces $k$ edges of the tour by $k$ other edges, as long as this yields a shorter tour. We will prove that for 2-dimensional Euclidean Traveling Salesman Problems with $n$ cities the approximation ratio of the $k$-Opt heuristic is $Θ(\log n / \log \log n)$. This improves the upper bound of $O(\log n)$ given by Chandra, Karloff, and Tovey in 1999 and provides for the first time a non-trivial lower bound for the case $k\ge 3$. Our results not only hold for the Euclidean norm but extend to arbitrary $p$-norms with $1 \le p &lt; \infty$.

研究动机与目标

• 为解决欧几里得 TSP 的 $k$-Opt 启发式算法近似比的理解差距，特别是针对此前尚未建立非平凡下界的 $k \geq 3$ 情况。
• 将 2-Opt 启发式算法的上界从 $O(\log n)$ 改进至 $O(\log n / \log\log n)$，与已知的下界相匹配。
• 将近似比结果推广至所有满足 $1 \leq p < \infty$ 的 $p$-范数，而不仅限于欧几里得范数。
• 证明对于 $k \geq 2$ 的 $k$-Opt 启发式算法，其结果总是 2-Opt 最优解，从而使得 2-Opt 的界可用于 $k$-Opt 的分析。

提出的方法

• 将 2-Opt 近似比的分析归约为无边交叉的 2-Opt 最优路径情形，利用平面性与几何性质。
• 构造了一类包含 $n$ 个点的欧几里得 TSP 实例，其中最优路径远短于任意 2-Opt 最优路径，采用嵌入平面的三维网格状结构。
• 利用平面图理论与边不相交路径分解，界定 2-Opt 最优路径中相交边的数量。
• 基于轴对齐矩形与边方向的几何论证，处理 $L^1$-范数情形，其中最优路径中也可能出现交叉。
• 证明在 $L^1$-范数下，2-Opt 最优路径不可能包含非轴对齐的交叉边，从而可将其分解为三个无交叉的边集。
• 通过保持平面性与几何不等式，将下界构造推广至所有 $p > 1$ 的 $p$-范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 3$ 时，欧几里得 TSP 的 $k$-Opt 启发式算法的精确近似比是多少？此前对 $k \geq 3$ 尚无非平凡下界。
• RQ2 2-Opt 启发式算法的上界 $O(\log n)$ 是否可改进？若可，其紧致渐近值为何？
• RQ3 若改用 $p$-范数而非欧几里得范数，$k$-Opt 启发式算法的近似比是否仍为 $\Theta(\log n / \log\log n)$？
• RQ4 在 $L^1$-范数下，2-Opt 最优路径中的交叉如何影响近似比？是否可在不损失渐近界的前提下处理此类交叉？

主要发现

• 对于包含 $n$ 个城市、常数 $k \geq 2$ 的欧几里得 TSP，$k$-Opt 启发式算法的近似比为 $\Theta(\log n / \log\log n)$，解决了长期存在的开放问题。
• 2-Opt 启发式算法的上界从 $O(\log n)$ 改进为 $O(\log n / \log\log n)$，与先前已知的下界相匹配。
• 首次为 $k \geq 3$ 的 $k$-Opt 启发式算法建立了 $\Omega(\log n / \log\log n)$ 的非平凡下界，此前该界未知。
• 该结果可推广至所有满足 $1 \leq p < \infty$ 的 $p$-范数，包括 $L^1$-范数，其中使用了特殊论证处理 2-Opt 最优路径中的交叉。
• 在 $L^1$-范数下，证明了 2-Opt 最优路径不可能包含非轴对齐的交叉边，从而可将其分解为三个无交叉边集，且总长度有界。
• 在任意满足 $1 \leq p < \infty$ 的 $p$-范数下，$k$-Opt 的最终近似比为 $\Theta(\log n / \log\log n)$，其中 $L^1$ 情形的损失因子最多为 3。