[论文解读] The Arason invariant of orthogonal involutions of degree 12 and 8, and quaternionic subgroups of the Brauer group

Anne Quéguiner-Mathieu, Jean-Pierre Tignol|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2014

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文引入了一个新的不变量 $ f_3(\sigma) $，用于中心单代数上度数为12和8的正交对合，通过测量其是否能提升为 $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 中阶为2的类，从而对 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $ 进行细化。关键贡献在于将具有对合的度数12代数分解为三个具有平凡判别式的度数4代数，将 Arason 不变量与 Peyre 复形的同调联系起来，并在某个二次扩张同时分裂代数并使对合成为双曲型时，确立其为零的条件。

ABSTRACT

Using the Rost invariant for torsors under Spin groups one may define an analogue of the Arason invariant for certain hermitian forms and orthogonal involutions. We calculate this invariant explicitly in various cases, and use it to associate to every orthogonal involution with trivial discriminant and trivial Clifford invariant over a central simple algebra of even co-index a cohomology class $f_3$ of degree 3 with $μ_2$ coefficients. This invariant $f_3$ is the double of any representative of the Arason invariant; it vanishes when the algebra has degree at most 10, and also when there is a quadratic extension of the center that simultaneously splits the algebra and makes the involution hyperbolic. The paper provides a detailed study of both invariants, with particular attention to the degree 12 case, and to the relation with the existence of a quadratic splitting field.

研究动机与目标

• 定义并研究一个细化不变量 $ f_3(\sigma) $，用以衡量 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $ 是否能提升为阶为2的上同调类。
• 将 Arason 不变量扩展至中心单代数上度数为12和8的正交对合，特别是当代数具有平凡判别式和 Clifford 不变量时。
• 建立具有对合的度数12代数分解为三个具有平凡判别式的度数4代数，推广 Pfister 对二次型的分解。
• 将 Arason 不变量与关联于由四元数代数生成的 Brauer 群子群 $ U $ 的度数3 Galois 上同调群的 Peyre 复形的同调联系起来。
• 将 Arason 不变量的定义扩展至所有代数指标至多为2的三重态（trialitarian triples）中。

提出的方法

• 利用 $ \mathrm{Spin} $ 群的 Rost 不变量，为具有平凡判别式和 Clifford 不变量的正交对合定义绝对 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $。
• 定义一个新的不变量 $ f_3(\sigma) \in H^3(F, \mu_2) $，即 $ e_3(\sigma) $ 的任意代表元的两倍，其在 $ e_3(\sigma) $ 由阶为2的类表示时恰好为零。
• 利用文献[17]中的开轨道论证，建立具有对合的度数12代数 $ (A,\sigma) $ 分解为三个具有正交对合和平凡判别式的度数4代数的加法分解。
• 为每个此类分解关联一个子群 $ U \subset \mathrm{Br}(F) $，其由至多三个四元数代数生成，并将 $ e_3(\sigma) $ 与 Peyre 复形 $ F^\times \cdot U \to H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) \to H^3(F_U, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 的同调联系起来。
• 证明对任意分解群 $ W $，有 $ f_3(\sigma) = f_3(W) $，且 $ \overline{e_3(\sigma)}^W $ 生成 Peyre 复形关联于 $ W $ 的同调群 $ \mathcal{H}_W $。
• 利用 Clifford 代数偶部和奇部上的典范对合 $ \sigma^+ $ 和 $ \sigma^- $，证明 $ e_3(\sigma) = e_3(\sigma^+) = e_3(\sigma^-) $，且对 $ f_3 $ 同样成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 正交对合 $ \sigma $ 在中心单代数 $ A $ 上的 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $ 何时能提升为 $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 中阶为2的上同调类？
• RQ2 Arason 不变量能否有意义地扩展至度数为12和8的代数上的正交对合，特别是当代数具有平凡判别式和 Clifford 不变量时？
• RQ3 将度数12代数上具有对合的代数分解为三个具有平凡判别式的度数4代数时，其 Clifford 分量生成的 Brauer 群子群 $ U $ 的结构是什么？
• RQ4 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $ 与关联于分解群 $ U $ 的 Peyre 复形的同调之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下不变量 $ f_3(\sigma) $ 为零，这与 $ (A,\sigma) $ 存在二次分裂域有何关联？

主要发现

• 不变量 $ f_3(\sigma) $ 当且仅当 Arason 不变量 $ e_3(\sigma) $ 由 $ H^3(F, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}(2)) $ 中阶为2的类表示时为零，且当 $ \deg A \leq 10 $ 时或存在一个二次扩张同时分裂 $ A $ 并使 $ \sigma $ 成为双曲型时，其为零。
• 对于具有平凡判别式和 Clifford 不变量的度数12代数上的正交对合，存在一个非唯一的分解，将其分解为三个具有正交对合和平凡判别式的度数4代数，推广了 Pfister 对二次型的分解。
• 分量的 Clifford 分量生成一个子群 $ U \subset \mathrm{Br}(F) $，其中每个元素均可由四元数代数表示，且 $ e_3(\sigma) $ 生成与 $ U $ 关联的 Peyre 复形的同调。
• Arason 不变量满足 $ e_3(\sigma) = e_3(\sigma^+) = e_3(\sigma^-) $，且 $ f_3(\sigma) = f_3(\sigma^+) = f_3(\sigma^-) $，其中 $ \sigma^+ $ 和 $ \sigma^- $ 分别为 Clifford 代数偶部和奇部上的典范对合。
• 不变量 $ f_3(\sigma) $ 等于任意分解群 $ W $ 的 $ f_3(W) $，且 $ \overline{e_3(\sigma)}^W $ 生成与 $ W $ 关联的 Peyre 复形的同调群 $ \mathcal{H}_W $。
• 本文基于度数12情形的结果，将 Arason 不变量的定义扩展至所有三个代数指标至多为2的三重态中。