[论文解读] The area measure of log-concave functions and related inequalities

Andrea Colesanti, Ilaria Fragalà|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文通过研究总质量泛函在Minkowski型扰动下的第一变分，引入了对数凹函数的面积测度的功能类比。它建立了功能型Minkowski第一不等式，推导出对数凹测度的对数Sobolev不等式，并提出了一个功能型Minkowski问题，证明了在数据满足适当条件下的部分存在性结果。

ABSTRACT

On the class of log-concave functions on $\R^n$, endowed with a suitable algebraic structure, we study the first variation of the total mass functional, which corresponds to the volume of convex bodies when restricted to the subclass of characteristic functions. We prove some integral representation formulae for such first variation, which lead to define in a natural way the notion of area measure for a log-concave function. In the same framework, we obtain a functional counterpart of Minkowski first inequality for convex bodies; as corollaries, we derive a functional form of the isoperimetric inequality, and a family of logarithmic-type Sobolev inequalities with respect to log-concave probability measures. Finally, we propose a suitable functional version of the classical Minkowski problem for convex bodies, and prove some partial results towards its solution.

研究动机与目标

• 通过总质量泛函的第一变分，为对数凹函数定义其功能类比的面积测度。
• 为对数凹函数建立功能型Minkowski第一不等式的版本。
• 在对数凹概率测度下，推导功能型等周不等式及一族对数Sobolev不等式。
• 提出并研究经典凸体Minkowski问题的功能类比版本。

提出的方法

• 通过积分表示计算总质量泛函的第一变分，从而定义对数凹函数的面积测度。
• 利用支撑函数与功能设定下面积测度的积分恒等式，推导功能型Minkowski第一不等式。
• 通过将功能型Minkowski不等式特化到单位球情形，作为推论获得等周不等式。
• 利用变分法与Prékopa-Leindler不等式，从功能型Minkowski不等式推导出对数Sobolev不等式。
• 提出一个功能型Minkowski问题，目标是根据球面上给定的Borel测度（满足相容性条件）重构一个对数凹函数。
• 证明依赖于总质量泛函的可微性以及涉及凸函数及其梯度的积分表示公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过总质量泛函的第一变分，将凸体的面积测度推广到对数凹函数的设定？
• RQ2 对数凹函数是否也成立功能型Minkowski第一不等式，类似于凸体的经典不等式？
• RQ3 能否利用该框架将等周不等式与对数Sobolev不等式推广到功能设定？
• RQ4 是否存在经典Minkowski问题的功能类比？在何种条件下可解？

主要发现

• 总质量泛函的第一变分具有涉及功能面积测度的积分表示，该测度推广了凸体的经典面积测度。
• 建立了功能型Minkowski第一不等式，表明第一变分下界由函数的L^1范数乘积控制，且在特定对称条件下取等。
• 作为推论，获得了对数凹函数的等周不等式，表明具有径向对称性的对数凹函数使功能型周长最小化。
• 获得了一族对数Sobolev不等式，其常数依赖于功能均宽度与对数凹测度的方差。
• 提出了功能型Minkowski问题，并证明在给定测度具有零质心且不集中于大圆的条件下，解存在。
• 在一维情形下，证明了在凸势函数的二阶导数满足可积性条件时，第一变分在零点处连续。