[论文解读] The arithmetic Hodge index theorem for adelic line bundles II

Xinyi Yuan, Shou-Wu Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文在ℚ上的有限生成域上的射影代数簇上建立了阿代尔线丛的算术Hodge指标定理，将此前在数域上的结果推广至更一般情形。证明了在拟正则性与有界性条件下，一个可积阿代尔线丛的平方在结构态射下的推出为零当且仅当其来自基域的拉回，该结果在代数动力系统中预周期点的刚性性研究中具有应用。

ABSTRACT

This is the second paper of a series. It extends the results of the first paper from number fields to finitely generated fields, based on the recent theory of adelic line bundles of the same authors. We prove an arithmetic Hodge index theorem for these adelic line bundles, and apply the theorem to obtain a rigidity property of the sets of preperiodic points of polarizable algebraic dynamical systems over any field.

研究动机与目标

• 将算术Hodge指标定理从数域推广至ℚ上的有限生成域。
• 在上述域上建立极化代数动力系统中预周期点的刚性定理。
• 将阿代尔线丛理论推广至有限生成域上的拟射影代数簇，基于阿拉凯洛夫几何的前期工作。
• 证明阿代尔线丛平方的推出在数值意义下平凡，当且仅当该线丛为来自基域的拉回，条件为适当的正则性与有界性。

提出的方法

• 利用[YZ2]中发展的有限生成域上阿代尔ℚ-线丛理论，定义拟正则与可积类。
• 引入正则性概念：拟有效性、数值平凡性，以及阿代尔线丛的'≫0'与'有界'条件。
• 应用Deligne配对与绝对交积，将簇上的交数与基域上的交数联系起来。
• 通过模型上拟正则Hermitian线丛序列的极限论证，证明M²的推出的数值平凡性。
• 应用[YZ2, 定理5.3.3]中的基本不等式于高度函数与本质最小值，控制增长并推导出交数的消失。
• 结合Bertini定理与极限论证，证明Q与任意d元幅线丛的交数为零，从而推出数值平凡性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，阿代尔线丛平方在基域上的推出为数值平凡？
• RQ2 何时推出的数值平凡性意味着该线丛为来自基域的拉回？
• RQ3 如何将算术Hodge指标定理从数域推广至ℚ上的有限生成域？
• RQ4 正则性与有界性条件在刻画阿代尔线丛拉回中起何作用？
• RQ5 阿代尔线丛在拟射影代数簇上的理论如何支持代数动力系统中预周期点研究？

主要发现

• 若M·L₁⋯Lₙ₋₁ = 0且每个Lᵢ为拟正则且大，则π下M²·L₁⋯Lₙ₋₁的推出在ŜPic(K)ₙₜ中为数值平凡。
• 若每个Lᵢ ≫ 0且M为Lᵢ-有界，则推出为数值平凡当且仅当M属于π*在ŜPic(K)ₙₜ上的像。
• 证明依赖于通过有界高度函数与基本不等式，证明Q的类在ŜPic(V_Q/ℚ)中为数值平凡。
• 一个幅Hermitian线丛的本质最小值被其总高度的(d+1)次幂的倍数下界控制，从而导致交数消失。
• 对所有幅线丛H，Q·H^d的消失蕴含对所有Hermitian线丛Hᵢ，有Q·H₁⋯H_d = 0，从而确立数值平凡性。
• 该结果将算术Hodge指标定理推广至ℚ上的有限生成域，扩展了此前在数域与函数域上的工作。