[论文解读] The Art Gallery Problem is $\exists \mathbb{R}$-complete

Mikkel Abrahamsen, Anna Adamaszek+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文证明了博物馆问题（art gallery problem）是 ∃ℝ-完全的，这意味着其计算复杂度与判断实系数多项式方程组是否存在实数解的问题相当。作者通过构造几何装置来编码多项式不等式，将存在理论（existential theory of the reals, ETR）归约到博物馆问题，表明该问题超出了 NP 类，且精确解的求解需要实代数计算。

ABSTRACT

We prove that the art gallery problem is equivalent under polynomial time reductions to deciding whether a system of polynomial equations over the real numbers has a solution. The art gallery problem is a classical problem in computational geometry. Given a simple polygon $P$ and an integer $k$, the goal is to decide if there exists a set $G$ of $k$ guards within $P$ such that every point $p\in P$ is seen by at least one guard $g\in G$. Each guard corresponds to a point in the polygon $P$, and we say that a guard $g$ sees a point $p$ if the line segment $pg$ is contained in $P$. The art gallery problem has stimulated extensive research in geometry and in algorithms. However, the complexity status of the art gallery problem has not been resolved. It has long been known that the problem is $ ext{NP}$-hard, but no one has been able to show that it lies in $ ext{NP}$. Recently, the computational geometry community became more aware of the complexity class $\exists \mathbb{R}$. The class $\exists \mathbb{R}$ consists of problems that can be reduced in polynomial time to the problem of deciding whether a system of polynomial equations with integer coefficients and any number of real variables has a solution. It can be easily seen that $ ext{NP}\subseteq \exists \mathbb{R}$. We prove that the art gallery problem is $\exists \mathbb{R}$-complete, implying that (1) any system of polynomial equations over the real numbers can be encoded as an instance of the art gallery problem, and (2) the art gallery problem is not in the complexity class $ ext{NP}$ unless $ ext{NP}=\exists \mathbb{R}$. As a corollary of our construction, we prove that for any real algebraic number $α$ there is an instance of the art gallery problem where one of the coordinates of the guards equals $α$ in any guard set of minimum cardinality. That rules out many geometric approaches to the problem.

研究动机与目标

• 解决博物馆问题计算复杂度这一长期悬而未决的开放问题。
• 确立博物馆问题属于 ∃ℝ 复杂度类，该类捕获了可归约至实数存在理论的问题。
• 证明该问题不在 NP 类中，除非 NP = ∃ℝ，从而将其置于 NP 类之外。
• 表明最优守卫位置的坐标可以是任意高次多项式的根，从而排除基于有限候选集的几何方法。
• 构造一个多边形，使得其最小守卫配置集合可实现 [0,1]² 中任意给定的紧致半代数集。

提出的方法

• 引入一个新的 ∃ℝ-完全问题，称为 ETR-INV，作为中间归约目标。
• 设计几何装置，如守卫线段、凹角、阴影区（umbras），以及用于编码多项式不等式与变量依赖关系的反演、加法与方向装置。
• 利用带有板片（slabs）的通道系统来模拟可见性约束，并实现在多边形中复制守卫线段位置的功能。
• 构建主多边形，包含底墙与垂直通道，以嵌入装置，并通过几何约束强制实现可见性关系。
• 通过可见性遮挡与关键线段及守卫位置的精心布置，实现 ≥-加法与 ≤-加法装置。
• 利用 Picasso 装置将任意半代数集嵌入为可行的守卫配置，证明该构造的表达能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 博物馆问题是否为 ∃ℝ-完全？若是，这对其计算复杂度意味着什么？
• RQ2 是否每个实系数多项式方程组均可编码为博物馆问题的一个实例？
• RQ3 是否存在博物馆问题的实例，使得最优守卫坐标为任意高次多项式的根？
• RQ4 多边形中所有最小守卫配置集合是否可实现 [0,1]² 中任意紧致半代数集？
• RQ5 当移除退化情形（如三条边延长线交于一点）后，该问题是否仍为 ∃ℝ-完全？

主要发现

• 博物馆问题为 ∃ℝ-完全，意味着其计算复杂度与判断实系数多项式方程组是否存在实解的问题相当。
• 除非 NP = ∃ℝ，否则该问题不在 NP 类中，这表明在标准复杂度假设下，其复杂度严格高于 NP 问题。
• 对任意实代数数 α，均存在一个博物馆问题实例，使得 α 作为坐标出现在每一个最优守卫集合中。
• 多边形中所有最小守卫配置集合可为任意紧致半代数集 S ⊆ [0,1]²，通过构造一个多边形，使得当且仅当 p 属于最小守卫集合时，p ∈ S。
• 即使在移除如三条边延长线交于一点等退化情形后，该构造仍保持 ∃ℝ-完全性。
• 即使将守卫限制在多边形边界上，问题仍为 ∃ℝ-完全，表明其复杂度对几何约束具有鲁棒性。