[论文解读] The Ascoli property for function spaces and the weak topology of Banach and Fréchet spaces

Saak Gabriyelyan, Jerzy Ka̧kol+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用 7

一句话总结

本文建立了巴拿赫空间和弗雷chet空间弱拓扑下若干拓扑性质——阿斯科利性、$k_{\mathbb{R}}$-空间以及序列连续性——之间的等价性，证明了巴拿赫空间 $E$ 的单位球在弱拓扑下为阿斯科利空间当且仅当 $E$ 不包含 $\ell_1$ 的同构拷贝。此外，证明了 $C_k(X)$ 为阿斯科利空间当且仅当 $X$ 局部紧致，且巴拿赫空间的弱拓扑为阿斯科利空间当且仅当该空间为有限维。

ABSTRACT

Following [3] we say that a Tychonoff space $X$ is an Ascoli space if every compact subset $\mathcal{K}$ of $C_k(X)$ is evenly continuous; this notion is closely related to the classical Ascoli theorem. Every $k_\mathbb{R}$-space, hence any $k$-space, is Ascoli. Let $X$ be a metrizable space. We prove that the space $C_{k}(X)$ is Ascoli iff $C_{k}(X)$ is a $k_\mathbb{R}$-space iff $X$ is locally compact. Moreover, $C_{k}(X)$ endowed with the weak topology is Ascoli iff $X$ is countable and discrete. Using some basic concepts from probability theory and measure-theoretic properties of $\ell_1$, we show that the following assertions are equivalent for a Banach space $E$: (i) $E$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$, (ii) every real-valued sequentially continuous map on the unit ball $B_{w}$ with the weak topology is continuous, (iii) $B_{w}$ is a $k_\mathbb{R}$-space, (iv) $B_{w}$ is an Ascoli space. We prove also that a Fréchet lcs $F$ does not contain isomorphic copy of $\ell_1$ iff each closed and convex bounded subset of $F$ is Ascoli in the weak topology. However we show that a Banach space $E$ in the weak topology is Ascoli iff $E$ is finite-dimensional. We supplement the last result by showing that a Fréchet lcs $F$ which is a quojection is Ascoli in the weak topology iff either $F$ is finite dimensional or $F$ is isomorphic to the product $\mathbb{K}^{\mathbb{N}}$, where $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$.

研究动机与目标

• 刻画在蒂索诺夫空间 $X$ 上连续实值函数空间 $C_k(X)$ 为阿斯科利空间的条件。
• 确定巴拿赫空间 $E$ 的单位球上弱拓扑为阿斯科利空间或 $k_{\mathbb{R}}$-空间的条件。
• 研究阿斯科利性质与巴拿赫空间及弗雷chet局部凸空间中 $\ell_1$ 同构拷贝缺失之间的关系。
• 探讨阿斯科利性质在闭子空间下是否保持，并确定使 $C_k(X)$ 或 $C_p(X)$ 为阿斯科利空间的 $X$ 的结构条件。

提出的方法

• 使用 $C_k(X)$ 中一致连续紧致子集的概念来定义阿斯科利空间，推广了经典阿斯科利定理。
• 应用测度论与概率论技术，特别是 $\ell_1$ 空间的性质，分析弱拓扑上的序列连续性。
• 运用皮特凯夫与格勒利茨–尼古拉定理，将 $C_p$-空间中的弗雷歇–乌雷松性质与 $k_{\mathbb{R}}$-空间性质联系起来。
• 利用自由局部凸空间与拓扑群的结果，研究代数与函数空间设定下阿斯科利性质的结构。
• 利用从非散射紧致空间 $K$ 到 $[0,1]$ 的连续满射的存在性，构造 $C_p(K)$ 上一个序列连续但不连续的泛函，证明其非 $k_{\mathbb{R}}$-空间结构。
• 应用勒贝格控制收敛定理，证明通过测度在点上为零的积分定义的泛函具有序列连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些度量空间 $X$，$C_k(X)$ 为阿斯科利空间？
• RQ2 在巴拿赫空间 $E$ 的单位球上，其弱拓扑何时为阿斯科利空间？
• RQ3 阿斯科利性质与巴拿赫空间及弗雷chet空间中 $\ell_1$ 同构拷贝缺失之间有何关系？
• RQ4 阿斯科利性质是否在 $k_{\mathbb{R}}$-空间的闭子空间下保持？
• RQ5 对于哪些蒂索诺夫空间 $X$，$C_p(X)$ 为阿斯科利空间或 $k_{\mathbb{R}}$-空间？

主要发现

• 对于度量空间 $X$，$C_k(X)$ 为阿斯科利空间当且仅当 $X$ 局部紧致。
• 巴拿赫空间 $E$ 的单位球上弱拓扑为阿斯科利空间当且仅当 $E$ 不包含 $\ell_1$ 的同构拷贝。
• 巴拿赫空间 $E$ 在弱拓扑下为阿斯科利空间当且仅当 $E$ 为有限维。
• 弗雷chet局部凸空间 $F$ 在弱拓扑下为阿斯科利空间当且仅当 $F$ 为有限维，或同构于 $\mathbb{K}^\mathbb{N}$（$\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$）。
• 弗雷chet局部凸空间 $F$ 的一个闭凸有界子集在弱拓扑下为阿斯科利空间当且仅当 $F$ 不包含 $\ell_1$ 的同构拷贝。
• 存在 $k_{\mathbb{R}}$-空间的可数闭非阿斯科利子空间，表明阿斯科利性质在闭子空间下不保持。