[论文解读] The associated family of an elliptic surface and applications to minimal submanifolds

Marcos Dajczer, Theodoros Vlachos|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文将欧几里得空间中极小曲面的经典关联族推广至一类更广泛的椭圆曲面，其中特定阶数的曲率椭圆为圆。研究证明，此类曲面存在一维等距极小形变族，扩展了已知的极小曲面结果，并表明高维极小子流形（秩为二）的关联族由具有圆曲率椭圆的基底椭圆曲面的关联族决定。

ABSTRACT

It is well-known that in any codimension a simply connected Euclidean minimal surface has an associated one-parameter family of minimal isometric deformations. In this paper, we show that this is just a special case of the associated family to any simply connected elliptic surface for which all curvature ellipses of a certain order are circles. We also provide the conditions under which this associated family is trivial, extending the known result for minimal surfaces. As an application, we show how the associated family of a minimal Euclidean submanifold of rank two is determined by the associated family of an elliptic surface clarifying the geometry around the associated family of these higher dimensional submanifolds.

研究动机与目标

• 将欧几里得空间中极小曲面的经典关联族推广至一类更广泛的椭圆曲面，其中特定阶数的曲率椭圆为圆。
• 刻画该广义关联族为平凡的条件，推广已知的极小曲面条件。
• 通过将其与具有圆曲率椭圆的基底椭圆曲面的关联族关联，阐明秩为二的高维极小子流形关联族的几何结构。
• 利用椭圆曲面的极小曲面构造，提供秩为二极小子流形关联族的参数描述。

提出的方法

• 将椭圆曲面的关联族定义为通过旋转第二基本形式（同时保持法丛和法联络不变）获得的一族等距极小浸入。
• 利用Burstin-Mayer-Allendoerfer理论，证明某些高阶基本形式在关联族变换下为不变量。
• 通过作用于相对零化分布正交补的旋转算子 $ R_{\theta} $ 构造关联族，保持第二基本形式的结构。
• 利用文献[8]中的极小曲面构造，将秩为二的极小子流形参数化为具有圆曲率椭圆的椭圆曲面法丛子丛上的正交直和。
• 对截面的法分量应用丛微同构 $ \theta \mapsto \phi_{\theta} $，以生成子流形的关联族。
• 通过线性椭圆型偏微分方程的递推构造截面，确保参数化保持极小性与等距性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，椭圆曲面会存在非平凡的等距极小形变关联族？
• RQ2 秩为二的极小子流形的关联族如何与它的极小曲面的关联族相关？
• RQ3 秩为二的极小子流形的关联族何时为平凡？
• RQ4 高维极小子流形的关联族能否通过具有圆曲率椭圆的基底椭圆曲面的关联族完全描述？
• RQ5 高阶基本形式在保持关联族结构方面起什么作用？

主要发现

• 椭圆曲面的关联族存在且非平凡，当且仅当某一固定阶数的所有曲率椭圆均为圆。
• 欧几里得空间中秩为二的极小子流形的关联族完全由其极小曲面（即具有特定阶数圆曲率椭圆的椭圆曲面）的关联族决定。
• 秩为二的极小子流形的关联族为平凡，当且仅当其极小曲面的极小曲面（即局部双极曲面）为 $ m $-极小化。
• 秩为二极小子流形关联族的参数化形式为 $ f_{\theta}(\delta) = h_{\theta}(x) + \phi_{\theta}\delta $，其中 $ h_{\theta} $ 为旋转后的截面，$ \phi_{\theta} $ 为丛微同构。
• 关联族子流形的第二基本形式满足 $ \alpha_{f_{\theta}}(X,Y) = \alpha_{f}(R_{-\theta}X,Y) $，证实了等距性与极小性。
• 该构造依赖于求解控制截面的函数 $ \omega $ 的线性椭圆型偏微分方程，以确保所得子流形的极小性与等距性。