[论文解读] The asymmetric sandwich theorem

Stephen Simons|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Functional Equations Stability Results被引用 5

一句话总结

本文引入了非对称夹逼定理，作为 Hahn–Banach 定理的推广，以在弱条件下建立线性泛函的存在性结果。它推导出凸函数及其共轭函数的新三元、四元和双变量对偶定理，通过有界性和 Baire 一类集假设，将 Fenchel 对偶性推广至非局部凸可度量化的空间。

ABSTRACT

We discuss the asymmetric sandwich theorem, a generalization of the Hahn-Banach theorem. As applications, we derive various results on the existence of linear functionals that include bivariate, trivariate and quadrivariate generalizations of the Fenchel duality theorem. Most of the results are about affine functions defined on convex subsets of vector spaces, rather than linear functions defined on vector spaces. We consider both results that use a simple boundedness hypothesis (as in Rockafellar's version of the Fenchel duality theorem) and also results that use Baire's theorem (as in the Robinson-Attouch-Brezis version of the Fenchel duality theorem). This paper also contains some new results about metrizable topological vector spaces that are not necessarily locally convex.

研究动机与目标

• 通过凸组合空间和仿射映射，将 Hahn–Banach 定理推广至非对称情形。
• 在不假设局部凸性的无限维空间中，建立线性泛函的存在性定理。
• 在有界性或 Baire 一类集条件下，推导凸共轭函数的新多变量对偶结果（三元、四元、双变量）。
• 将 Rockafellar 和 Robinson–Attouch–Brezis 的 Fenchel 对偶定理推广至非局部凸可度量化的拓扑向量空间。
• 提供使对偶定理中内部性条件自动满足的条件，从而简化验证过程。

提出的方法

• 引入非对称夹逼定理（定理 4），作为向量空间凸子集上仿射函数的 Hahn–Banach 定理的推广。
• 利用次水平集定理（定理 7）和 CC 空间（凸子集）上的共轭函数理论，推导线性泛函的存在性。
• 应用一个技术性三元存在性结果（推论 9），涉及两个 CC 空间和一个局部凸空间，以推导定理 10 和定理 13。
• 在引理 19 和定理 20 中应用 Baire 定理，证明在可度量空间中，内部性条件（11）等价于更简单的拓扑条件。
• 通过仿射映射的复合与凸函数的下确界卷积，推导四元（定理 13）和双元（推论 14）定理。
• 在 Banach 空间和 Fréchet 空间中应用结果，利用 Fitzpatrick 函数和强表示性，对仿射映射下定义域像的条件进行分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非局部凸向量空间中，何种条件下存在一个线性泛函，可分离特定的凸集？
• RQ2 如何通过有界性或 Baire 一类集假设，将 Fenchel 对偶性推广至局部凸空间之外？
• RQ3 在多变量对偶定理中，内部性条件起什么作用，何时可自动满足？
• RQ4 在非局部凸拓扑向量空间中，共轭函数在与仿射映射复合时行为如何？
• RQ5 在无限维情形下，凸函数的部分下确界卷积能否通过共轭对偶性进行刻画？

主要发现

• 非对称夹逼定理（定理 4）为向量空间凸子集上线性泛函的存在性提供了一个通用框架。
• 推论 9 建立了一个涉及两个 CC 空间和一个局部凸空间的三元存在性定理，从而支持多变量对偶结果的推导。
• 定理 10 推出一个新的仿射 Fenchel 对偶定理（推论 11），其推广了 Rockafellar 基于有界性的对偶性，且无需全局下半连续性条件。
• 定理 13 提供了一个四元存在性定理，用于计算通过两个仿射映射和一个四元函数定义的凸函数的共轭。
• 推论 14 提出一个双元存在性定理，扩展了 Simons 关于部分下确界卷积与共轭对偶性的结果。
• 推论 27–30 推广了近期在非自反 Banach 空间中关于极大单调多值映射的结果，表明在某些缩放定义域像闭的条件下，共轭公式仍然成立。