[论文解读] The asymptotic complexity of matrix reduction over finite fields

Demetres Christofides|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文证明了在有限域上进行矩阵约化的条纹消去算法在渐近意义上是最优的，证明了几乎所有的 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中的矩阵都需要至少 $\frac{n^2}{\log_q n}$ 次行变换才能约化为单位矩阵。该结果通过组合计数法计算初等矩阵的规范积以及基于熵的矩阵生成界限，强化了先前的下界，表明该算法的复杂度仅相差一个常数因子。

ABSTRACT

Consider an invertible n imes n matrix over some field. The Gauss-Jordan elimination reduces this matrix to the identity matrix using at most n^2 row operations and in general that many operations might be needed. In [1] the authors considered matrices in GL(n;q), the set of n imes n invertible matrices in the finite field of q elements, and provided an algorithm using only row operations which performs asymptotically better than the Gauss-Jordan elimination. More specifically their `striped elimination algorithm' has asymptotic complexity \frac{n^2}{\log_q{n}}. Furthermore they proved that up to a constant factor this algorithm is best possible as almost all matrices in GL(n;g) need asymptotically at least \frac{n^2}{2\log_q{n}} operations. In this short note we show that the `striped elimination algorithm' is asymptotically optimal by proving that almost all matrices in GL(n;q) need asymptotically at least frac{n^2}{\log_q{n}} operations.

研究动机与目标

• 为条纹消去算法在有限域上矩阵约化的上界与下界之间的差距画上句号。
• 为将随机矩阵在 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中约化为单位矩阵所需行变换次数建立更强的下界。
• 通过证明下界与算法复杂度仅相差一个常数因子，表明条纹消去算法在渐近意义上是最优的。
• 深化对 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中初等矩阵乘积组合结构的理解。

提出的方法

• 本文利用初等矩阵乘积的规范形式，统计在最多 $k$ 次行变换下可生成的不同矩阵数量。
• 应用斯特林公式和对数界限，估算初等矩阵乘积的数量，同时考虑非交换性及行索引的重叠。
• 通过组合计数索引集与标量选择，推导出在 $k$ 次操作内可达的 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中不同矩阵数量的上界。
• 将该上界与 $\mathrm{GL}(n,q)$ 的总大小进行比较，利用不等式 $|\mathrm{GL}(n,q)| \geq q^{n^2 - \frac{1}{q-1}\log_q e}$ 推导出 $k$ 的下界。
• 利用重排不等式与对数性质，对不同乘积数量进行有界，表明块内顺序导致的重复计数具有显著影响。
• 结合标量选择（每矩阵 $q-1$ 种选择）、索引选择与块结构的界限，推导出在 $k$ 次操作内可达的不同矩阵总数上界为 $q^{(k+2n)\log_q n + \cdots}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{F}_q$ 上，条纹消去算法进行矩阵约化的渐近最优性是否成立？
• RQ2 能否为随机矩阵在 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中约化为单位矩阵所需行变换次数，建立强于 $\frac{n^2}{2\log_q n}$ 的下界？
• RQ3 以几乎所有矩阵所需的最少行变换次数衡量，有限域上矩阵约化的真正渐近复杂度是多少？
• RQ4 在 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中，作为最多 $k$ 个初等矩阵乘积可生成的不同矩阵有多少？其与 $\mathrm{GL}(n,q)$ 大小的关系如何？

主要发现

• 条纹消去算法在渐近意义上是最优的，因为几乎所有 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中的矩阵都需要至少 $\frac{n^2}{\log_q n}$ 次行变换才能约化为单位矩阵。
• 本文证明，要约化超过 $\alpha$ 比例的 $\mathrm{GL}(n,q)$ 中的矩阵，所需操作数的下界为 $\frac{n^2 - 2n\log_q n - n - n\log_q 2 - \frac{1}{q-1}\log_q e - \log_q \frac{1}{\alpha}}{\log_q n + \log_q (8qe)}$。
• 在最多 $k$ 次行变换下可达的不同矩阵数量，其上界为 $q^{(k+2n)\log_q n + (3k+n)\log_q 2 + n + k + k\log_q e}$，该值在 $k \geq \frac{n^2}{\log_q n}$ 之前增长速度慢于 $|\mathrm{GL}(n,q)|$。
• 在 $\mathbb{F}_q$ 上，$n \times n$ 可逆矩阵的总数至少为 $q^{n^2 - \frac{1}{q-1}\log_q e}$，为该群的大小提供了强有力的下界。
• 分析表明，由于对称性（如不相交变换的交换性）导致初等矩阵乘积的不同数量显著减少，该减少效应通过阶乘与对数界限得到了量化。
• 结果确认，条纹消去算法的复杂度 $\frac{n^2}{\log_q n}$ 仅相差一个常数因子，从而解决了有限域上矩阵约化的渐近复杂度问题。