[论文解读] The Asymptotic Cone of Teichmuller Space: Thickness and Divergence

Harold Mark Sultan|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文利用裤复形的几何模型，通过魏尔-彼得森度量刻画了汤川空间的渐近锥，证明了具一个边界分量的亏格二曲面为二阶厚型，且具有超二次至三次的发散性。此外，本文识别出强收缩的拟测地线，并引入了分离多曲线复形，完成了有限类型汤川空间的厚型分类。

ABSTRACT

Using the geometric model of the pants complex, we study the Asymptotic Cone of Teichmüller space equipped with the Weil Petersson metric. In particular, we provide a characterization of the canonical finest pieces in the tree-graded structure of the asymptotic cone of Teichmüller space along the same lines as similar characterizations for right angled Artin groups by Behrstock-Charney and for mapping class groups by Behrstock-Kleiner-Minsky-Mosher. As a corollary of the characterization, we complete the thickness classification of Teichmüller spaces for all surfaces of finite type. In particular, we prove that Teichmüller space of the genus two surface with one boundary component (or puncture) can be uniquely characterized in the following two senses: it is thick of order two, and it has superquadratic yet at most cubic divergence. In addition, we characterize strongly contracting quasi-geodesics in Teichmüller space, generalizing results of Brock-Masur-Minsky. As a tool in the thesis, we develop a natural relative of the curve complex called the complex of separating multicurves which may be of independent interest. The final chapter includes various related and independent results including, under mild hypotheses, a proof of the equivalence of wideness and unconstrictedness in the CAT(0) setting, as well as adapted versions of three preprints. Specifically, in the three preprints we characterize hyperbolic type quasi-geodesics in CAT(0) spaces, we prove that the separating curve complex of the genus two surface satisfies a quasidistance formula and is Gromov-hyperbolic, and we study the net of separating pants decompositions in the pants complex.

研究动机与目标

• 刻画在魏尔-彼得森度量下汤川空间渐近锥的树分级结构中的规范最细部分。
• 完成所有有限类型曲面汤川空间的厚型分类。
• 将布罗克-马苏尔-明斯基先前的工作中关于汤川空间内强收缩拟测地线的结果推广至更广范围。
• 引入并研究分离多曲线复形，作为曲线复形的新同类结构。
• 在较弱假设下建立CAT(0)空间中宽广性与无约束性的等价性，并整合三篇相关几何结构的预印本。

提出的方法

• 利用裤复形作为几何模型，分析在魏尔-彼得森度量下汤川空间的渐近锥。
• 应用几何群论中的技术，特别是树分级结构分析，将渐近锥分解为规范最细部分。
• 采用分离多曲线复形——一种类似于曲线复形但聚焦于分离曲线的新复形——研究子空间几何。
• 改编并扩展三篇预印本的结果：刻画CAT(0)空间中双曲型拟测地线，证明亏格二曲面的分离曲线复形为格罗莫夫双曲，分析裤复形中分离裤分解的网结构。
• 应用拟距离公式与基于曲率的论证，验证双曲性与收缩性质。
• 在较弱假设下，利用几何与拓扑约束，建立CAT(0)空间中宽广性与无约束性的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在魏尔-彼得森度量下，汤川空间渐近锥的树分级结构为何？其规范最细部分如何刻画？
• RQ2 每类有限类型曲面的汤川空间的厚型类别为何？该分类如何完善对其大尺度几何的理解？
• RQ3 如何刻画汤川空间中的强收缩拟测地线，以推广先前结果？
• RQ4 分离多曲线复形具有何种几何与拓扑性质？其在建模汤川空间中扮演何种角色？
• RQ5 在何种条件下，CAT(0)空间中的宽广性与无约束性等价？该结果如何关联汤川空间的几何结构？

主要发现

• 在魏尔-彼得森度量下，汤川空间的渐近锥具有树分级结构，其规范最细部分已被完全刻画，类似于右角Artin群与映射类群的结果。
• 具一个边界分量的亏格二曲面的汤川空间是唯一二阶厚型，完成了有限类型汤川空间的厚型分类。
• 该汤川空间表现出超二次但至多三次的发散性，使其与低阶或高阶厚型空间相区别。
• 引入了分离多曲线复形，并证明其为格罗莫夫双曲，为研究分离子曲面提供了新工具。
• 亏格二曲面的分离曲线复形满足拟距离公式，且为格罗莫夫双曲，将已知结果推广至一类新复形。
• 在CAT(0)设定下，在较弱假设下宽广性与无约束性等价，该结果对非正曲率空间的几何具有深远影响。