[论文解读] The asymptotic equivalence of fixed heat flux and fixed temperature thermal boundary conditions for rapidly rotating convection

Michael A. Calkins, Kevin Hale+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 36被引用 25

一句话总结

本文证明，在应力自由边界条件下，平面层中快速旋转对流的固定温度（FT）与固定热通量（FF）热边界条件在渐近意义下具有等价的主导阶动力学行为。通过渐近分析表明，尽管FF条件需要双边界层结构（埃克曼层与热风层），但其对内部准地转对流的影响在渐近意义下微弱，从而可通过简单重标度将两种情形的解相互映射。

ABSTRACT

The influence of fixed temperature and fixed heat flux thermal boundary conditions on rapidly rotating convection in the plane layer geometry is investigated for the case of stress-free mechanical boundary conditions. It is shown that whereas the leading order system satisfies fixed temperature boundary conditions implicitly, a double boundary layer structure is necessary to satisfy the fixed heat flux thermal boundary conditions. The boundary layers consist of a classical Ekman layer adjacent to the solid boundaries that adjust viscous stresses to zero, and a layer in thermal wind balance just outside the Ekman layers adjusts the temperature such that the fixed heat flux thermal boundary conditions are satisfied. The influence of these boundary layers on the interior geostrophically balanced convection is shown to be asymptotically weak, however. Upon defining a simple rescaling of the thermal variables, the leading order reduced system of governing equations are therefore equivalent for both boundary conditions. These results imply that any horizontal thermal variation along the boundaries that varies on the scale of the convection has no leading order influence on the interior convection.

研究动机与目标

• 研究固定温度（FT）与固定热通量（FF）热边界条件对快速旋转对流的影响。
• 确定在快速旋转极限（Ekman数 → 0）下，两种边界条件是否导致不同的主导阶动力学行为。
• 评估边界层在满足FF条件的同时维持内部准地转平衡的作用。
• 通过重标度建立FT与FF解之间的正式映射，使现有基于FT结果可应用于FF情形。

提出的方法

• 在Ekman数极小（EH → 0）极限下进行渐近展开，采用多尺度方法分离内部与边界层动力学。
• 推导出双边界层结构：一个用于粘性应力调整的埃克曼层，一个用于热通量调整的热风层。
• 使用匹配渐近展开法求解主导阶内部方程与边界层修正项。
• 应用tau方法结合切比雪夫多项式与傅里叶模态，数值求解线性特征值问题。
• 对Rayleigh数与温度变量进行重标度，证明FT与FF系统在主导阶下具有等价性。
• 分析时间平均的平均热方程，证明两种条件下内部温度梯度演化完全相同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在快速旋转对流中，固定温度与固定热通量热边界条件是否导致不同的主导阶动力学？
• RQ2 在快速旋转极限下，满足固定热通量条件所需的边界层结构是什么？
• RQ3 边界层修正对内部准地转对流的影响有多弱？
• RQ4 能否通过简单重标度将固定温度边界条件的解映射到固定热通量条件？
• RQ5 边界上水平热变化对内部对流动力学的影响如何？

主要发现

• 在快速旋转极限（EH → 0）下，固定温度与固定热通量边界条件的主导阶内部动力学行为渐近等价。
• 固定热通量条件需要双边界层结构：一个用于粘性应力调整的埃克曼层，一个用于热通量调整的热风层。
• 边界层修正影响渐近微弱，埃克曼层温度涨落为O(ǫ⁵)量级，表明对内部流动影响极小。
• 通过简单重标度可实现两种边界条件间解的映射：fRa_FT = fRa_FF / Nu 与 ϑ′_1,FT = Nu × ϑ′_1,FF。
• 两种条件下内部平均温度梯度演化完全一致，证实主导阶动力学等价性。
• 边界上以对流尺度变化的水平热变化对内部对流无主导阶影响。