[论文解读] The asymptotic rank of metric spaces

Stefan Wenger|ArXiv.org|Jan 8, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了度量空间的渐近秩作为几何不变量，其推广了欧几里得秩，并通过高阶填充函数的增长率来刻画它。主要结果表明，对于具有至多 k 维锥型不等式的完备度量空间，若渐近秩不超过 k，则 (k+1) 阶填充体积函数呈次欧几里得增长，从而推出次欧几里得等周不等式。

ABSTRACT

In this article we define and study a notion of asymptotic rank for metric spaces and show in our main theorem that for a large class of spaces, the asymptotic rank is characterized by the growth of the higher filling functions. For a proper, cocompact, simply-connected geodesic metric space of non-curvature in the sense of Alexandrov the asymptotic rank equals its Euclidean rank.

研究动机与目标

• 为一般度量空间定义并研究一种新的几何不变量——渐近秩。
• 将欧几里得秩的概念推广至非正曲率空间或一般度量空间之外。
• 通过高阶填充函数的渐近行为来刻画渐近秩。
• 建立具有受控几何结构的完备度量空间中几何结构与等周增长之间的联系。
• 将已知关于哈达姆空间与非紧型对称空间中填充函数的结果进行推广。

提出的方法

• 通过将 R^n 的正测度紧致子集的双利普希茨嵌入到空间的渐近子集，来定义渐近秩。
• 使用积分电流形式化 k-链与 k-循环，从而定义填充体积函数 FV_{k+1}(r)。
• 引入锥型不等式以及具有长度函数与畸变函数的广义梳洗结构，以控制填充体积。
• 应用度量微分与面积公式，通过利普希茨收缩来界定填充电流的质量。
• 利用广义梳洗结构与度量微分技术，建立电流的直径-体积不等式。
• 证明当渐近秩 ≤ k 且在至多 k 维范围内存在锥型不等式时，FV_{k+1}(r) 呈次欧几里得增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将度量空间的欧几里得秩推广至非正曲率空间或一般度量空间？
• RQ2 空间的渐近秩与其高阶填充函数增长速率之间有何关系？
• RQ3 在何种几何条件下，度量空间对 k-循环具有次欧几里得等周不等式？
• RQ4 渐近秩能否通过存在具有特定维数性质的渐近锥来刻画？
• RQ5 锥型不等式在多大程度上蕴含次欧几里得填充体积增长？

主要发现

• 对于具有非正曲率的完备、余紧、单连通测地度量空间，其渐近秩等于其欧几里得秩。
• 对于满足统一链条件（Q-有界链）的完备度量空间，若渐近秩不超过 k，则 (k+1) 阶填充体积函数满足 limsup_{r→∞} FV_{k+1}(r)/r^{(k+1)/k} = 0。
• 对所有 m ≤ k 满足锥型不等式的空间，也满足 k-循环的次欧几里得等周不等式。
• 该结果可推广至哈达姆空间与非紧型对称空间，在这些空间中已知在秩以上存在更强的线性填充不等式。
• 具有多项式长度与畸变函数的广义梳洗结构，可导出类型为 (ν + kμ, 1) 的直径-体积不等式，当 ν=1 且 μ=0 时，可推出锥型不等式。
• 证明依赖于度量微分、面积公式以及利普希茨收缩的雅可比行列式有界性，以控制填充电流的质量。