[论文解读] The asymptotical behaviour of embedded eigenvalues for perturbed periodic operators

Wencai Liu|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文在扰动以 $ O(1/x) $ 或 $ O(1/n) $ 速率衰减的条件下，建立了扰动周期性薛定谔算符与雅可比算符在谱带边附近嵌入本征值的渐近行为。利用弗洛quet理论与普吕弗变量分析，推导出逆谱权重 $ \Gamma(E_i)^{-1} $ 之和的普遍上界，表明本征值以受控密度在带边处聚集，其密度取决于扰动的衰减速率。

ABSTRACT

Let $H_0$ be a periodic operator on $\R^+$(or periodic Jacobi operator on $\N$). It is known that the absolutely continuous spectrum of $H_0$ is consisted of spectral bands $\cup[α_l,β_l]$. Under the assumption that $\limsup_{x o \infty} x|V(x)|

研究动机与目标

• 理解扰动周期性薛定谔算符与雅可比算符中嵌入本征值趋近谱带边时的渐近分布特性。
• 在 $ \limsup x|V(x)| < \infty $ 条件下，建立带边附近本征值的逆谱权重 $ \Gamma(E_i)^{-1} $ 之和的精确上界。
• 将先前关于本征值衰减的结果推广至临界情形 $ V(x) = O(1/x) $，该情形处于本征值存在的临界阈值。
• 通过基于弗洛quet解与普吕弗变量的统一框架，统一连续与离散情形的分析。
• 为未来在相同衰减条件下研究奇异连续谱的缺失问题提供基础。

提出的方法

• 利用弗洛quet理论，将周期性算符的解表示为周期函数与指数型/准周期函数的乘积。
• 引入谱权重函数 $ \Gamma(E) $，其通过弗洛quet解的 $ L^4 $-范数与朗斯基安定义，且在带边处发散。
• 应用普吕弗变量变换，分析扰动下解的相位演化。
• 通过 $ \ell^2 $-衰减与普吕弗方程中三角函数项的振荡行为，结合求和估计，控制本征值的聚集。
• 利用恒等式 $ 2\cos k(E) = D(E) $（即判别式），将谱位置与带边行为关联，推导出 $ |E - \alpha| $ 或 $ |E - \beta| $ 的界。
• 通过与 $ \sum |\sin k(E_i)|^2 \leq K A^2 $ 的比较，推导出普遍界，进而得到 $ \sum \min\{|E_i - \alpha|^{\kappa_\alpha}, |E_i - \beta|^{\kappa_\beta}\} \leq K A^2 $ 的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扰动周期性算符中，嵌入本征值在趋近谱带边时的渐近行为如何？
• RQ2 在 $ \limsup x|V(x)| = A < \infty $ 条件下，带边附近本征值的逆谱权重 $ \Gamma(E_i)^{-1} $ 之和的最优上界是什么？
• RQ3 临界衰减速率 $ V(x) = O(1/x) $ 是否能支持可数个嵌入本征值？其聚集密度如何？
• RQ4 带边的性质（坍塌型与非坍塌型）如何影响本征值聚集速率？
• RQ5 准动量 $ k(E) $ 与判别式 $ D(E) $ 在刻画渐近本征值分布中起什么作用？

主要发现

• 对于任意标准谱带 $[\alpha_l, \beta_l]$，嵌入本征值集合 $ P \cap (\alpha_l, \beta_l) $ 是可数的，且可能仅在 $ \alpha_l $ 与 $ \beta_l $ 处聚集。
• 在 $ (\alpha_l, \delta_l) $ 或 $ (\delta_l, \beta_l) $ 中，本征值的 $ \Gamma(E_i)^{-1} $ 之和有界于 $ \frac{A^2}{2} $，其中 $ A = \limsup x|V(x)| $。
• 在非坍塌带边 $ \alpha $ 附近，有 $ \sum_{E_i \in P \cap (\alpha, \beta)} |E_i - \alpha| \leq K A^2 $，表明本征值间距呈线性衰减。
• 在坍塌带边 $ \alpha $ 附近，有 $ \sum_{E_i \in P \cap (\alpha, \beta)} |E_i - \alpha|^2 \leq K A^2 $，由于更高阶的带边行为，表明本征值间距呈二次衰减。
• 对于自由薛定谔算符（$ V_0 = 0 $），有 $ \sum_{E_i \in P \cap (0, \infty)} E_i \leq \frac{A^2}{2} $，表明本征值在无穷远处不会过于密集地聚集。
• 在自由雅可比情形（$ V_0 = 0 $），有 $ \sum_{E_i \in P \cap (-2,2), E_i \neq 0} (4 - E_i^2) \leq 4A^2 $，且当 $ A < 1 $ 时，有 $ 0 \notin P $，即在弱衰减条件下零点处无本征值。