[论文解读] The asymptotics of the generalised Bessel function

R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Electrostatics and Colloid Interactions参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文利用广义 Wright 函数 ${}_p\Psi_q(z)$ 的渐近理论，推导了广义贝塞尔函数 ${}_0\Psi_1(z)$ 在 $|z|$ 较大时的渐近行为，特别关注 $a = -\frac{1}{2}$ 和 $-1 < a < 0$ 情况下的指数衰减贡献与 Stokes 现象。通过考虑 Stokes 不连续性，修正了 Wright 早期处理中的错误，并基于 $\arg z$ 提供了精确的扇形展开，经数值验证。

ABSTRACT

We demonstrate how the asymptotics for large $|z|$ of the generalised Bessel function \[{}_0Ψ_1(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{Γ(an+b) n!},\] where $a&gt;-1$ and $b$ is any number (real or complex), may be obtained by exploiting the well-established asymptotic theory of the generalised Wright function ${}_pΨ_q(z)$. A summary of this theory is given and an algorithm for determining the coefficients in the associated exponential expansions is discussed in an appendix. We pay particular attention to the case $a=-1/2$, where the expansion for $z o\pm\infty$ consists of an exponentially small contribution that undergoes a Stokes phenomenon. We also examine the different nature of the asymptotic expansions as a function of $\arg\,z$ when $-1

研究动机与目标

• 通过已建立的广义 Wright 函数 ${}_p\Psi_q(z)$ 的渐近理论，重新表达广义贝塞尔函数 ${}_0\Psi_1(z)$ 的渐近展开。
• 通过引入 Stokes 现象，修正 Wright 对 $a = -\frac{1}{2}$ 情况下指数衰减贡献的早期处理。
• 细化复平面上 ${}_1\Psi_0(z)$ 的渐近行为发生变化的扇形区域，这些变化由 $\arg z = 0$ 和 $\arg z = \pm\pi(1+a)$ 处的 Stokes 线引起。
• 提供一种系统算法，用于计算 ${}_0\Psi_1(z)$ 指数展开中的系数，详见附录。
• 通过数值计算验证所推导展开式的正确性，确保在不同渐近区域中均保持高精度。

提出的方法

• 通过广义 Wright 函数 ${}_p\Psi_q(z)$ 推导 ${}_0\Psi_1(z)$ 的渐近展开，利用参数 $\kappa = 1 + \sum \beta_r - \sum \alpha_r$ 对渐近行为进行分类。
• 利用形式和 $E_{p,q}(z) = Z^\vartheta e^Z \sum A_j Z^{-j}$ 构造指数与代数展开，其中 $Z = \kappa(hz)^{1/\kappa}$，系数 $A_j$ 由 $g(s)/\Gamma(1+s)$ 的反阶乘展开导出。
• 通过关系式 $c_j = C_j - \sum_{k=1}^{j-1} (-1)^k \binom{j-1}{k} c_{j-k} B_k^{(k-j+1)}(\vartheta')$ 递归计算系数 $A_j$，其中 $C_j$ 来自 $g(s)/\Gamma(1+s)$ 的展开。
• 通过识别在射线 $\arg z = 0$ 和 $\arg z = \pm\pi(1+a)$ 上渐近展开的不连续性，分析 Stokes 现象，尤其针对 $-1 < a < 0$ 的情况。
• 对于 $a = -\frac{1}{2}$ 的情况，利用合流超几何函数表示重新评估指数衰减贡献，确认了 Wright 原始分析中遗漏的 Stokes 不连续性。
• 通过计算特定参数值下的展开式进行数值验证，使用 Mathematica 最多计算了 100 个系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义 Wright 函数理论系统地推导 ${}_0\Psi_1(z)$ 在 $|z|$ 较大时的渐近展开？
• RQ2 为何 Wright 对 $a = -\frac{1}{2}$ 情况下指数衰减项的表达式是错误的？Stokes 现象如何影响其有效性？
• RQ3 复平面上 ${}_1\Psi_0(z)$ 的渐近行为因 Stokes 线而发生变化的精确扇形区域是什么？
• RQ4 当 $a > 0$ 与 $-1 < a < 0$ 时，${}_0\Psi_1(z)$ 的渐近展开在形式与收敛性上有哪些差异？
• RQ5 所推导的系数算法能否可靠地计算指数展开中的高阶项？其数值验证方式如何？

主要发现

• ${}_0\Psi_1(z)$ 的渐近展开在 $a > 0$ 与 $-1 < a < 0$ 情况下表现出不同形式，后者在射线 $\arg z = 0$ 和 $\arg z = \pm\pi(1+a)$ 上表现出 Stokes 不连续性。
• 对于 $a = -\frac{1}{2}$，通过考虑 Stokes 现象修正了指数衰减贡献，该现象在 Wright 的原始分析中被遗漏。
• ${}_1\Psi_0(z)$ 的渐近行为扇形边界的确定比 Wright 1940 年论文中的结果更为精确，尤其在 $-1 < a < 0$ 的情形下。
• 附录中的系数算法可递归计算出高达 100 项的 $A_j$，且通过 Mathematica 确认了其高数值精度。
• 数值计算验证了所推导展开式的正确性，包括指数衰减项及其 Stokes 转变。
• 当 $\sigma = \frac{1}{2}$ 时，${}_1\Psi_0(xe^{\pm \pi i \sigma})$ 的展开与合流超几何函数表示一致，证实了所推导的渐近形式 (4.18)。