[论文解读] The Atiyah-Patodi-Singer index on manifolds with non-compact boundary

Maxim Braverman, Pengshuai Shi|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 42被引用 7

一句话总结

本文建立了完备奇数维流形上非紧边界强卡利亚斯型算子的阿蒂yah-帕特迪-西格尔指标定理。它引入了一个相对η不变量，该不变量虽在个体η不变量未定义时仍表现得如同其差值，但其值有定义，并证明该相对不变量等于一族算子谱流的两倍，从而在不假设有界几何的前提下将指标理论推广至非紧情形。

ABSTRACT

We study the index of the APS boundary value problem for a strongly Callias-type operator D on a complete Riemannian manifold $M$. We show that this index is equal to an index on a simpler manifold whose boundary is a disjoint union of two complete manifolds $N_0$ and $N_1$. If the dimension of $M$ is odd we show that the latter index depends only on the restrictions $A_0$ and $A_1$ of $D$ to $N_0$ and $N_1$ and thus is an invariant of the boundary. We use this invariant to define the relative eta-invariant $η(A_1,A_0)$. We show that even though in our situation the eta-invariants of $A_1$ and $A_0$ are not defined, the relative eta-invariant behaves as if it was the difference $η(A_1)-η(A_0)$.

研究动机与目标

• 将阿蒂yah-帕特迪-西格尔指标定理推广至具有非紧边界的完备奇数维流形。
• 在非紧情形下，为强卡利亚斯型算子在椭圆边界条件下定义一个不变指标。
• 引入一个相对η不变量，其行为如同未定义的个体η不变量之差。
• 建立一个谱流公式，将相对η不变量与边界算子之间cobordism的指标联系起来。
• 证明沿非紧超曲面分解的流形上指标的分裂定理。

提出的方法

• 在具有非紧边界的完备流形上引入强卡利亚斯型算子，通过势函数更强的增长条件确保离散谱。
• 利用边界算子的本征段构造边界上的Sobolev空间族，从而定义依赖于边界算子的椭圆边界条件。
• 将本质上柱状的流形定义为非紧情形下紧致流形的替代，其中流形在紧集外为柱状。
• 通过将流形延伸为圆柱体构造cobordism，将边界值问题的指标与一族算子的谱流联系起来。
• 在边界分量上应用APS边界条件，并利用谱截面定义一族连续的边界条件。
• 通过定义域的同构证明指标在连续边界条件族中保持不变，从而导出谱流公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿蒂yah-帕特迪-西格尔指标定理能否在不假设有界几何或紧致性的情况下推广至具有非紧边界的流形？
• RQ2 当个体不变量未定义时，是否存在一个明确定义的不变量，能捕捉非紧流形上两个算子η不变量之间的差异？
• RQ3 非紧流形上边界值问题的指标如何与边界上一族算子的谱流相关？
• RQ4 非紧流形上的指标能否通过沿非紧超曲面的分裂定理进行分解？
• RQ5 相对η不变量与边界上一族自伴算子的谱流之间的确切关系为何？

主要发现

• 具有椭圆边界条件的强卡利亚斯型算子在具有非紧边界的完备奇数维流形上的指标是弗雷德霍姆算子。
• 当流形沿非紧超曲面被分割时，边界值问题的指标等于两部分指标之和。
• 即使η(𝒜₁)和η(𝒜₀)未定义，相对η不变量η(𝒜₁,𝒜₀)仍有定义，且其行为如同它们的差值。
• 相对η不变量满足η(𝒜¹,𝒜⁰) = 2·sf(𝒜)，其中sf(𝒜)为一族𝒜的谱流。
• 在cobordism流形上扩展算子的指标在族中保持不变，从而导出谱流公式。
• 边界上一族算子的谱流等于相对η不变量差值的一半，建立了指标理论与谱不变量之间深刻的联系。