[论文解读] The Atiyah Patodi Singer signature formula for measured foliations

Paolo Antonini|ArXiv.org|Jan 2, 2009

Structural Health Monitoring Techniques被引用 5

一句话总结

本文通过将 $L^2$-指标理论推广至具有全息不变横截测度的叶状空间，建立了带有边界的流形上测度叶状结构的 Atiyah-Patodi-Singer 指标公式。在该框架下，证明了分析、Hodge 和 de Rham 指标相等，从而得到一个包含 $\hat{A}$-类与 $\Lambda$-eta 不变量的指标公式，将经典指标理论推广至非交换几何设定。

ABSTRACT

Let $(X_0,\mathcal{F}_0) $ be a compact manifold with boundary endowed with a foliation $\mathcal{F}_0$ which is assumed to be measured and transverse to the boundary. We denote by $Λ$ a holonomy invariant transverse measure on $(X_0,\mathcal{F}_0) $ and by $\mathcal{R}_0$ the equivalence relation of the foliation. Let $(X,\mathcal{F})$ be the corresponding manifold with cylindrical end and extended foliation with equivalence relation $\mathcal{R}$. In the first part of this work we prove a formula for the $L^2$-$Λ$ index of a longitudinal Dirac-type operator $D^{\mathcal{F}}$ on $X$ in the spirit of Alain Connes' non commutative geometry $ind_{L^2,Λ}(D^{\mathcal{F},+}) = + 1/2[η_Λ(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_Λ + h^-_Λ].$

研究动机与目标

• 将 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理推广至配备与边界横截的测度叶状结构的带边流形。
• 为这类叶状流形定义并比较三种指标概念——分析指标、Hodge 指标与 de Rham 指标。
• 在 $L^2$-指标理论的叶状结构背景下，建立包含 $\hat{A}$-类与 $\Lambda$-eta 不变量的指标公式。
• 通过全息不变横截测度与冯·诺依曼代数，统一经典指标理论与非交换几何。

提出的方法

• 从紧致叶状流形带边 $(X_0, \mathcal{F}_0)$ 构造一个具有柱形端的流形 $X$，并将叶状结构与等价关系扩展至 $\mathcal{R}$。
• 针对全息不变横截测度 $\Lambda$ 应用 $L^2$-指标理论，定义纵向 Dirac 算子 $D^{\mathcal{F}}$ 的 $L^2$-$\Lambda$-指标。
• 利用冯·诺依曼代数中的非交换积分理论与 Breuer-Fredholm 理论，处理叶状结构中的 $L^2$-指标。
• 在叶状复形上定义三种指标：分析指标（通过签名算子的 $L^2$-$\Lambda$-指标）、Hodge 指标（通过调和形式）与 de Rham 指标（通过相对 de Rham 上同调）。
• 利用谱密度函数与 $L^2$-上同调中的弱正合序列，证明这三种指标相等。
• 导出主要指标公式：$\sigma_{\Lambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\Lambda \rangle + \frac{1}{2} \eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Atiyah-Patodi-Singer 指标定理推广至配备测度叶状结构的带边流形？
• RQ2 在测度叶状结构的 $L^2$-指标理论背景下，分析、Hodge 与 de Rham 指标是否相等？
• RQ3 $\Lambda$-eta 不变量在带边叶状流形的指标公式中起什么作用？
• RQ4 非交换几何，特别是冯·诺依曼代数与横截测度，如何促进叶状结构中 $L^2$-指标的定义？

主要发现

• 带边叶状流形的分析、Hodge 与 de Rham 指标相等：$\sigma_{\Lambda,\text{an}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\Lambda,\text{Hodge}}(X,\partial X_0) = \sigma_{\Lambda,\text{dR}}(X,\partial X_0)$。
• $L^2$-$\Lambda$-指标由 $\operatorname{ind}_{L^2,\Lambda}(D^{\mathcal{F},+}) = \langle \hat{A}(T\mathcal{F})\operatorname{Ch}(E/S), C_\Lambda \rangle + \frac{1}{2}[\eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial}) - h^+_{\Lambda} + h^-_{\Lambda}]$ 给出。
• 主要指标公式为 $\sigma_{\Lambda,\text{dR}}(X,\partial X_0) = \langle L(T\mathcal{F}_0), C_\Lambda \rangle + \frac{1}{2}\eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$，推广了经典的 Atiyah-Patodi-Singer 公式。
• $\Lambda$-eta 不变量 $\eta_\Lambda(D^{\mathcal{F}_\partial})$ 在校正边界贡献的指标公式中起核心作用。
• 通过谱密度函数与 $L^2$-上同调中的弱正合序列理论，确立了指标的等价性。
• 该框架通过 Connes 的非交换几何与横截测度，将 Atiyah 的 $L^2$-指标定理推广至叶状空间。