[论文解读] The augmented multiplicative coalescent and critical dynamic random graph models

Shankar Bhamidi, Amarjit Budhiraja+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文引入了增强乘法共alescent（AMC），这是一种新的随机过程，用于在有界大小规则下建模动态随机图模型中连通分量大小和盈余（复杂性）的渐近演化。证明了对于任意此类规则，经过缩放的连通分量大小和盈余向量都会收敛到AMC，从而在相变临界点附近建立了临界随机图动态的普遍极限。

ABSTRACT

Random graph models with limited choice have been studied extensively with the goal of understanding the mechanism of the emergence of the giant component. One of the standard models are the Achlioptas random graph processes on a fixed set of $n$ vertices. Here at each step, one chooses two edges uniformly at random and then decides which one to add to the existing configuration according to some criterion. An important class of such rules are the bounded-size rules where for a fixed $K\geq 1$, all components of size greater than $K$ are treated equally. While a great deal of work has gone into analyzing the subcritical and supercritical regimes, the nature of the critical scaling window, the size and complexity (deviation from trees) of the components in the critical regime and nature of the merging dynamics has not been well understood. In this work we study such questions for general bounded-size rules. Our first main contribution is the construction of an extension of Aldous's standard multiplicative coalescent process which describes the asymptotic evolution of the vector of sizes and surplus of all components. We show that this process, referred to as the standard augmented multiplicative coalescent (AMC) is `nearly' Feller with a suitable topology on the state space. Our second main result proves the convergence of suitably scaled component size and surplus vector, for any bounded-size rule, to the standard AMC. The key ingredients here are a precise analysis of the asymptotic behavior of various susceptibility functions near criticality and certain bounds from [8], on the size of the largest component in the barely subcritical regime.

研究动机与目标

• 理解在选择受限条件下的临界标度窗口及连通分量结构。
• 刻画在临界点附近巨分量的出现以及连通分量复杂性（盈余）的特征。
• 开发一个普遍的极限过程，以捕捉在一般有界大小规则下连通分量大小和盈余的渐近行为。
• 将Aldous的乘法共alescent扩展至包含盈余（复杂性），并建立其在动态随机图过程中的收敛性。

提出的方法

• 引入标准增强乘法共alescent（AMC），即Aldous的乘法共alescent的扩展，通过连续时间马尔可夫过程同时追踪连通分量大小和盈余（多余边数）。
• 在状态空间上定义合适的拓扑，以证明AMC在某种意义下是“近乎”Feller的，从而支持收敛性分析。
• 使用微分方程方法，并对临界点附近的敏感度函数进行精确渐近分析，以控制连通分量大小和盈余的演化。
• 利用[bsr-2012]中关于几乎亚临界状态下最大连通分量的界限，控制有限尺寸效应。
• 应用耦合和鞅技术，证明缩放后的连通分量大小和盈余向量以概率收敛到AMC。
• 通过紧致性与马氏性论证，建立有限维分布的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界大小规则下，动态随机图过程在临界窗口中，连通分量大小与盈余向量如何演化？
• RQ2 能否存在一个普遍的极限过程，以描述在不同有界大小规则下连通分量大小与复杂性的渐近行为？
• RQ3 盈余（多余边数）在刻画相变临界点附近连通分量复杂性方面起什么作用？
• RQ4 收敛到增强乘法共alescent的过程如何依赖于选择规则？其结果是否在所有有界大小规则下都具有普遍性？

主要发现

• 增强乘法共alescent（AMC）被构造为在有界大小规则下动态随机图中连通分量大小与盈余演化的普遍缩放极限。
• 在合适的拓扑下，AMC被证明是“近乎”Feller的，从而支持其进入行为与路径行为的分析。
• 对于任意有界大小规则，连通分量大小与盈余的缩放向量均收敛到AMC的分布，确立了普遍性。
• 即使在经典Erdős-Rényi模型中，该收敛结果依然成立，该模型是有界大小规则的特例。
• 分析表明，临界窗口的标度是普遍的，连通分量大小与盈余按AMC动力学演化。
• 证明依赖于对敏感度函数的精确渐近控制，以及对几乎亚临界状态下最大连通分量的界限。