[论文解读] The automorphism group of a self-dual binary [72,36,16] code does not contain Z7, Z3xZ3, or D10

Thomas Feulner, Gabriele Nebe|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文证明了不存在具有循环群 $Z_7$、初等阿贝尔群 $Z_3 imes Z_3$ 或二面体群 $D_{10}$ 作为其自同构群子群的极值自偶二元 [72,36,16] 码。通过在 Magma 中使用计算方法，作者利用群代数分解和 $
mathbb{F}_{16}$ 上的迹-赫米特自偶码分析 $G$-不变自偶码，表明在这些对称性下，不存在能达到最小距离 16 的此类码。结果将任何此类码的可能自同构群缩小为阶为 5 或 24 的因数。

ABSTRACT

A computer calculation with Magma shows that there is no extremal self-dual binary code C of length 72 that has an automorphism group containing D10, Z3xZ3, or Z7. Combining this with the known results in the literature one obtains that Aut(C) is either Z5 or has order dividing 24.

研究动机与目标

• 确定极值自偶二元 [72,36,16] 码的可能自同构群。
• 排除 $Z_7$、$Z_3 \times Z_3$ 和 $D_{10}$ 作为此类码自同构群子群的存在。
• 通过排除这些特定群结构，完成对可能自同构群的分类。
• 使用计算代数和表示论方法，通过群代数分解分析 $
  mathbb{F}_2$ 上的 $G$-不变自偶码。

提出的方法

• 应用马什克定理，将奇数阶阿贝尔群 $G$ 的群代数 $\mathbb{F}_2G$ 分解为域的直和。
• 利用 $G$-不变自偶码与扩展域 $\mathbb{F}_{2^{k_i}}$ 上自偶码元组之间的对应关系，满足特定对偶性条件。
• 通过系统生成矩阵和 $D_{10} \wr S_7$ 对称性，建立 $
  mathbb{F}_{16}$ 上迹-赫米特自偶码的构造模型。
• 实现回溯算法，生成长度为 7、最小 5-权至少为 8 的 $
  mathbb{F}_4$-线性迹-赫米特自偶码。
• 通过 $
  mathbf{F}_4^* \times (D_{10} \wr S_7)$ 的轨道约化，最小化候选码的搜索空间。
• 通过迭代筛选候选码，检查其能否与来自 1920 个码的二元码 $C_0$ 扩展，以确保最小距离 $\geq 16$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个极值自偶二元 [72,36,16] 码，其自同构群包含 $Z_7$？
• RQ2 自偶 [72,36,16] 码能否将其自同构群的子群包含 $Z_3 \times Z_3$？
• RQ3 此类码的自同构群是否可能包含二面体群 $D_{10}$？
• RQ4 假设存在的极值 [72,36,16] 码的自同构群可能的阶数是多少？
• RQ5 基于计算和表示论分析，哪些群结构被排除在该类码的自同构群之外？

主要发现

• 不存在自同构群中包含 $Z_7$ 的极值自偶二元 [72,36,16] 码。
• 不存在自同构群中包含 $Z_3 \times Z_3$ 作为子群的此类码。
• 不存在自同构群中包含 $D_{10}$ 作为子群的此类码。
• 计算共耗用约 70 天的 CPU 时间，使用 Magma 和自定义回溯算法。
• 在搜索的第 $i=7$ 层，对所有剩余的 4 个候选码，均未找到有效的二元扩展 $C_0$，使得完整码的最小距离达到 16。
• 任何极值 [72,36,16] 码的自同构群的阶必须为 5 或 24 的因数。