[论文解读] The automorphism group of Cayley graphs on symmetric groups generated by transposition sets and of the modified bubble-sort graph

Ashwin Ganesan|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Genome Rearrangement Algorithms被引用 2

一句话总结

该论文确定了由对换集生成的对称群上的Cayley图的自同构群，表明当对换图的围长至少为5时，自同构群是右正则表示与保持生成集的对称群自同构的半直积。此外，该研究还指出，对换图中的4-圈会导致非平凡的固定顶点的自同构，表明其结构对这些图的对称性具有影响。

ABSTRACT

Let $S$ be a set of transpositions that generates the symmetric group $S_n$, where $n \ge 3$. The transposition graph $T(S)$ is defined to be the graph with vertex set $\{1,\ldots,n\}$ and with vertices $i$ and $j$ being adjacent in $T(S)$ whenever $(i,j) \in S$. We prove that if the girth of the transposition graph $T(S)$ is at least 5, then the automorphism group of the Cayley graph $\Cay(S_n,S)$ is the semidirect product $R(S_n) times \Aut(S_n,S)$, where $\Aut(S_n,S)$ is the set of automorphisms of $S_n$ that fixes $S$. This strengthens a result of Feng on transposition graphs that are trees. We also prove that if the transposition graph $T(S)$ is a 4-cycle, then the set of automorphisms of the Cayley graph $\Cay(S_4,S)$ that fixes a vertex and each of its neighbors is isomorphic to the Klein 4-group and hence is nontrivial. We thus identify the existence of 4-cycles in the transposition graph as being an important factor in causing a potentially larger automorphism group of the Cayley graph.

研究动机与目标

• 表征由对换集生成的对称群上的Cayley图的自同构群。
• 研究对换图的结构——特别是其围长和圈结构——如何影响相应Cayley图的对称性。
• 将先前关于对换图为树的结果推广到围长更高或存在4-圈的更一般情形。
• 确定对换图中4-圈的存在是否会导致Cayley图的自同构群更大。

提出的方法

• 将对换图T(S)定义为在{1,…,n}上的图，其中若(i,j) ∈ S，则顶点i与j相邻。
• 以T(S)的围长作为结构条件：若围长≥5，则Cay(Sₙ,S)的自同构群同构于R(Sₙ) ⋊ Aut(Sₙ,S)。
• 分析T(S)为4-圈的情形，特别是当n=4时，以研究固定顶点的自同构。
• 证明当T(S)为4-圈时，Cay(S₄,S)中某顶点及其邻居的稳定子群同构于Klein四元群。
• 应用群论技术分析保持生成集S的Sₙ的自同构。
• 利用半直积结构分解Cayley图的完整自同构群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在对换图T(S)满足何种条件时，Cay(Sₙ,S)的自同构群等于R(Sₙ) ⋊ Aut(Sₙ,S)？
• RQ2 T(S)中4-圈的存在如何影响Cay(Sₙ,S)的自同构群？
• RQ3 当T(S)为4-圈时，Cay(S₄,S)中某顶点及其邻居的稳定子群结构如何？
• RQ4 T(S)的围长是否足以确定Cayley图的完整自同构群？
• RQ5 当T(S)包含4-圈时，Cay(Sₙ,S)的自同构群是否可能大于R(Sₙ) ⋊ Aut(Sₙ,S)？

主要发现

• 当对换图T(S)的围长至少为5时，Cay(Sₙ,S)的自同构群同构于半直积R(Sₙ) ⋊ Aut(Sₙ,S)。
• 该结果强化了Feng早期关于对换图为树的工作，将其推广至围长更高的情形。
• 若T(S)为4-圈，则Cay(S₄,S)中某顶点及其邻居的稳定子群同构于Klein四元群，表明其对称性超越了正则表示。
• 研究识别出T(S)中4-圈的存在是导致对应Cayley图自同构群更大的关键因素。
• 研究表明，T(S)的结构特征（如圈长和围长）会直接影响Cayley图的对称性。
• 当n=4且T(S)为4-圈时，Cay(S₄,S)的自同构群包含一个非平凡子群，该子群固定一个顶点及其邻居，表明其偏离了正则群作用。