[论文解读] The average exponent of elliptic curves modulo $p$

Jie Wu|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文为模 $ p $ 椭圆曲线的平均指数 $ e_p $ 建立了改进的渐近公式，改进了 Freiberg 与 Kurlberg 的先前工作。在广义黎曼假设（GRH）下，证明了 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}("log x)^{4/3}) $，且在无条件情况下对具有复乘法的曲线（CM 曲线），有 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $，显著改进了误差项。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over ${\mathbb Q}$. For a prime $p$ of good reduction for $E$, denote by $e_p$ the exponent of the reduction of $E$ modulo $p$. Under GRH, we prove that there is a constant $C_E\in (0, 1)$ such that $$ \frac{1}{π(x)} \sum_{p\le x} e_p = 1/2 C_E x + O_E\big(x^{5/6} (\log x)^{4/3}\big) $$ for all $x\ge 2$, where the implied constant depends on $E$ at most. When $E$ has complex multiplication, the same asymptotic formula with a weaker error term $O_E(1/(\log x)^{1/14})$ is established unconditionally. These improve some recent results of Freiberg and Kurlberg.

研究动机与目标

• 改进模 $ p $ 椭圆曲线平均指数 $ e_p $ 的渐近估计，超越 Freiberg 与 Kurlberg 的近期结果。
• 在 GRH 下，对分裂域 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ 的 Dedekind zeta 函数建立更精确的误差项，将误差从 $ x^{9/10} $ 降低至 $ x^{5/6} $。
• 对具有复乘法（CM）的椭圆曲线，无条件地证明渐近公式，误差项为 $ O_E(x / (\log x)^{1/14}) $，利用有效的 Chebotarev 密度估计。
• 通过有效解析数论工具（特别是群结构与密度定理）统一并简化 Freiberg 与 Kurlberg 的方法，以处理 $ d_p $ 和 $ e_p $ 的和。

提出的方法

• 该方法依赖于通过群结构 $ E_p(\mathbb{F}_p) \simeq \mathbb{Z}/d_p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/e_p\mathbb{Z} $ 表达求和 $ \sum_{p \leq x} e_p $，其中 $ e_p $ 为指数，并通过 $ e_p = \frac{p+1-a_p}{d_p} $ 将 $ e_p $ 与 $ d_p $ 关联，$ a_p $ 为 Frobenius 的迹。
• 将求和分解为两部分：$ S_1 $，对 $ k \leq y $ 求和，其中 $ k \mid d_p $；$ S_2 $，对 $ k > y $ 求和，使用 dyadic 求和与 dyadic 分区以平衡误差项。
• 对于 $ S_1 $，利用 $ k $-分害域 $ L_k $ 上的 Chebotarev 密度定理，估计满足 $ k \mid d_p $ 的素数 $ p \leq x $ 的数量，GRH 下使用有效界，或对 CM 曲线无条件使用有效界。
• 对于 $ S_2 $，使用 Brun-Titchmarsh 不等式，以及对满足 $ k^2 \mid p+1-a_p $ 且 $ k \mid p-1 $ 的 $ p \leq x $ 的数量的界，利用 $ k \mid d_p $ 蕴含 $ k^2 \mid (p+1-a_p) $ 与 $ k \mid (a_p - 2) $ 的事实。
• 通过选择 $ y = x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $（在 GRH 下）和 $ y = (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $（无条件地对 CM 曲线），优化误差项，使 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的总误差最小化。
• 常数 $ C_E $ 定义为 $ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $，其源于对分害域结构的 Möbius 反演。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线模 $ p $ 的平均指数 $ e_p $ 的精确渐近行为是什么？误差项如何改进？
• RQ2 Freiberg 与 Kurlberg 基于 GRH 的误差项 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $ 能否改进？若能，改进幅度如何？
• RQ3 对具有复乘法的椭圆曲线，能否在无条件情况下建立 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p $ 的渐近公式，并获得优于 $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $ 的误差项？
• RQ4 分害域 $ L_k = \mathbb{Q}(E[k]) $ 的结构如何影响 $ d_p $ 的分布？这一影响如何用于估计 $ e_p $？
• RQ5 在 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 中，误差项的最优平衡是什么？这种平衡如何依赖于 dyadic 参数 $ y $ 的选择？

主要发现

• 在 GRH 下，平均指数满足 $ \frac{1}{\pi(x)}\sum_{p\leq x} e_p = \frac{1}{2}C_E x + O_E(x^{5/6}(\log x)^{4/3}) $，优于先前的误差项 $ O_E(x^{9/10} (\log x)^{11/5}) $。
• 对具有复乘法的椭圆曲线，该渐近公式在无条件情况下成立，误差项为 $ O_E\left(\frac{x}{(\log x)^{1/14}}\right) $，显著优于先前的无条件界 $ O_E(x \log_3 x / \log_2 x) $。
• 常数 $ C_E = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n_{L_k}} \sum_{dm=k} \frac{\mu(d)}{m} $，其中 $ n_{L_k} = [L_k : \mathbb{Q}] $，控制主项，源于对 $ k $-挠域结构的 Möbius 反演。
• 在 GRH 下误差项的改进源于更精细的 dyadic 分解与对满足 $ k \mid d_p $ 的素数 $ p \leq x $ 数量的更紧界，使用误差为 $ O(x^{1/2} \log(N_E x)) $ 的有效 Chebotarev 密度估计。
• 对 CM 曲线，无条件误差项通过有效 Chebotarev 密度定理的界推导，误差为 $ O_E(x^2 \exp\{-B(\log x)^{5/14}\}) $，适用于 $ k $ 到 $ (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $ 为止。
• dyadic 参数 $ y $ 的最优选择为：在 GRH 下为 $ x^{1/3}(\log x)^{-2/3} $，在无条件情况下对 CM 曲线为 $ (C^{-1}N_E^{-2}\log x)^{1/14} $，使 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的总误差最小化。