[论文解读] The average number of elements in the 4-Selmer groups of elliptic curves is 7

Manjul Bhargava, Arul Shankar|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 29

一句话总结

本文证明了当按高度排序时，有理数域上椭圆曲线的4-Selmer群的平均大小恰好为7。通过将4-Selmer元素几何地表示为ℙ³中一对二次曲面的局部可解轨道，作者利用不变量理论与阿代尔积分计算了该平均值，扩展了对2-和3-Selmer群的先前结果，并支持了关于n-Selmer群平均大小的更广泛猜想。

ABSTRACT

We prove that when all elliptic curves over $\mathbb{Q}$ are ordered by height, the average size of their 4-Selmer groups is equal to 7. As a consequence, we show that a positive proportion (in fact, at least one fifth) of all 2-Selmer elements of elliptic curves, when ordered by height, do not lift to 4-Selmer elements, and thus correspond to nontrivial 2-torsion elements in the associated Tate--Shafarevich groups.

研究动机与目标

• 确定当按高度排序时，有理数域上椭圆曲线的4-Selmer群的平均大小。
• 将该结果扩展至由系数A和B的有限个同余条件定义的族。
• 证明存在正比例的2-Selmer元素无法上拉至4-Selmer元素，意味着Tate–Shafarevich群中存在非平凡的2-挠。
• 支持一个猜想：对所有正整数n，n-Selmer群的平均大小为σ(n)，即n的所有正因子之和。
• 为Goldfeld–Katz–Sarnak关于椭圆曲线50%-50%秩分布的猜想提供理论证据。

提出的方法

• 将4-Selmer元素表示为在ℙ³中二次曲面对的表示空间Vℚ上的局部可解Gℚ-轨道。
• 利用群Gℝ = (GL₂ × GL₄)/{ (λ⁻²I₂, λI₄) }的不变量环，为雅可比椭圆曲线关联不变量A和B。
• 应用阿代尔积分和在ℝ与ℚₚ上的体积计算，以计算局部可解轨道的密度。
• 通过E[4]和E[2]在ℚ上的结构，将4-Selmer群的平均大小与具有非平凡2-挠的轨道数联系起来。
• 利用已知的2-Selmer群平均大小（3）以及4-Selmer群中非2-挠元素的平均数量（4），推导出总平均大小为7。
• 通过4-Selmer群中4阶元素的平均大小的界限，建立×2映射S₄(E) → S₂(E)下无原像的2-Selmer元素的平均数量的下界为3/5。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按高度排序时，有理数域上椭圆曲线的4-Selmer群的平均大小是多少？
• RQ2 在由A和B的有限个同余条件定义的族中，4-Selmer群的平均大小是否仍为7？
• RQ3 2-Selmer元素在多大程度上无法上拉至4-Selmer元素？这对Tate–Shafarevich群有何含义？
• RQ4 所有正整数n的n-Selmer群平均大小是否存在普遍规律？
• RQ5 此类平均大小对有理数域上椭圆曲线的秩分布有何影响？

主要发现

• 当按高度排序时，有理数域上椭圆曲线的4-Selmer群的平均大小恰好为7。
• 该结果在由A和B的系数的有限个同余条件定义的任意椭圆曲线族中均一致成立。
• 存在正比例（具体至少为1/5）的2-Selmer元素无法上拉至4-Selmer元素，意味着它们对应于Tate–Shafarevich群中的非平凡2-挠。
• 4-Selmer群中阶整除2的元素之外的平均元素数为4，而2-Selmer群的平均大小为3，两者之和为7。
• 映射×2: S₄(E) → S₂(E)下无原像的2-Selmer元素的平均数量的下确界至少为3/5，且该界限是紧的。
• 结果支持了如下猜想：n-Selmer群的平均大小为σ(n)，即n的所有正因子之和，且该猜想对n = 1, 2, 3, 4已得证明。