[论文解读] The average size of the 2-Selmer group of Jacobians of hyperelliptic curves having a rational Weierstrass point

Manjul Bhargava, Benedict H. Gross|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用 61

一句话总结

该论文证明，当按高度对具有有理魏尔斯特拉斯点的高亏格 $ n \geq 1 $ 的超椭圆曲线进行排序时，其雅可比簇的 2- Selmer 群的平均大小恰好为 3。作者采用几何不变量理论方法，分析了半单群在表示空间上的积分轨道，结合 $ \mathbb{A} $- 有理积分与筛法，计算了平均大小，从而通过 Chabauty 方法实现了对有理点数量的有效上界。

ABSTRACT

We prove that when all hyperelliptic curves of genus $n\geq 1$ having a rational Weierstrass point are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is equal to 3. It follows that (the limsup of) the average rank of the Mordell-Weil group of their Jacobians is at most 3/2. The method of Chabauty can then be used to obtain an effective bound on the number of rational points on most of these hyperelliptic curves; for example, we show that a majority of hyperelliptic curves of genus $n\geq 3$ with a rational Weierstrass point have fewer than 20 rational points.

研究动机与目标

• 确定按高度排序的具有有理魏尔斯特拉斯点的高亏格 $ n \geq 1 $ 超椭圆曲线的雅可比簇的 2-Selmer 群的平均大小。
• 证明该平均值在高度排序下恰好为 3，即使在限制于由系数同余条件定义的族中也成立。
• 通过 Chabauty 方法推导出此类曲线上有理点数量的有效上界。
• 通过轨道计数与 $ \mathbb{A} $- 有理数的几何方法，将 Bhargava 与 Gross 的方法推广至更高亏格的超椭圆曲线。

提出的方法

• 作者构造了正交群在整系数二元型空间上的表示，用于参数化雅可比簇中的 2-挠结构。
• 利用伽罗瓦上同调与 Vinberg 的幂零轨道理论，对积分轨道进行分类，识别出 $ \mathbb{Z} $ 与 $ \mathbb{Z}_p $ 上的基本域。
• 利用数的几何估计，计数有界高度的不可约整点，同时考虑局部密度与同余条件。
• 应用加权筛法以分离 Selmer 元素，局部密度通过 $ \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $ 的结构计算。
• 使用 $ \mathbb{A} $- 体积公式 $ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $，将全局计数与局部测度联系起来。
• 通过等分布性与 Herbrand 商的乘积公式，计算非平凡 2-Selmer 元素的平均数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 当按高度排序时，具有有理魏尔斯特拉斯点的高亏格 $ n \geq 1 $ 超椭圆曲线的雅可比簇的 2-Selmer 群的平均大小是多少？
• RQ2 当限制于系数的同余条件所定义的族时，该平均值是否仍为 3？
• RQ3 Chabauty 方法是否可用于有效上界此类曲线上的有理点数量？
• RQ4 2-Selmer 群大小与 Mordell-Weil 群平均秩之间有何关系？
• RQ5 塔马古瓦数与 $ \mathbb{A} $- 有理积分在计算 Selmer 群平均大小中起什么作用？

主要发现

• 当按高度排序时，具有有理魏尔斯特拉斯点的高亏格 $ n \geq 1 $ 超椭圆曲线的雅可比簇的 2-Selmer 群的平均大小恰好为 3。
• 该结果在由系数有限组同余条件定义的任意此类曲线族中均一致成立。
• 2-Selmer 群的平均 2-秩至多为 $ 3/2 $，意味着 Mordell-Weil 群的平均秩至多为 $ 3/2 $。
• 对于大多数具有有理魏尔斯特拉斯点的高亏格 $ n \geq 3 $ 超椭圆曲线，其有理点数量少于 20 个。
• 该方法建立了非单位 2-Selmer 元素在 $ \prod_{\nu} \mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu)/2\mathrm{Jac}(C)(\mathbb{Q}_\nu) $ 的 $ \mathbb{A} $- 有理积空间中的等分布性，对任意有限个位置成立。
• 全局平均大小计算的基础是 $ \mathbb{A} $- 体积公式 $ \mathrm{vol}(V(\mathbb{A})_{<X}/G(\mathbb{Q})) = 2 \cdot \mathrm{vol}(S(\mathbb{A})_{<X}) $。