[论文解读] The axiomatic deduction of the quadratic Hencky strain energy by Heinrich Hencky

Patrizio Neff, Bernhard Eidel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 7被引用 19

一句话总结

本文对海因里希·亨克西1928年原始论文中关于二次亨克西应变能的公理化推导进行了忠实的英文翻译与注释。基于对数应变张量和有限变形下的叠加原理，亨克西采用变分法推导出一个关于对数应变呈二次型的应变能函数，建立了具有旋转不变性与一致应力-应变关系的非线性弹性理论基础框架。

ABSTRACT

The introduction of the quadratic Hencky strain energy based on the logarithmic strain tensor log V is a milestone in the development of nonlinear elasticity theory in the first half of the 20th century. Since the original manuscripts are written in German, they are not easily accessible today. However, we believe that the deductive approach taken by Hencky deserves to be rediscovered today. In this work we have gathered parts of the original contributions "Über die Form des Elastizitätsgesetzes bei ideal elastischen Stoffen", "Welche Umstände bedingen die Verfestigung bei der bildsamen Verformung von festen isotropen Körpern?" and "Das Superpositionsgesetz eines endlich deformierten relaxationsfähigen elastischen Kontinuums und seine Bedeutung für eine exakte Ableitung der Gleichungen für die zähe Flüssigkeit in der Eulerschen Form" which center around this deductive approach. We tried to provide, for the first time, a faithful translation into English. All footnotes are our addition.

研究动机与目标

• 恢复并翻译亨克西原始的公理化推导过程，该推导至今仍以德文原文形式难以获取。
• 阐明非线性弹性理论中二次亨克西能模型的物理与数学基础。
• 证明应变能函数在有限变形下与叠加原理的一致性。
• 基于对数应变张量与变形速度场，提供一种严格且不变的应变能推导方法。
• 为二次亨克西能作为有限弹性中最小且物理一致的模型提供理论基础。

提出的方法

• 通过在变形速度张量与应力率上应用变分原理，推导应变能函数，确保旋转不变性。
• 通过主拉伸量引入对数应变张量，将应变度量定义为 $ e_i = 1 - 1/\lambda_i $，其中 $ \lambda_i $ 为各向主拉伸量。
• 通过在旋转材料参考系中考虑应力张量的时间导数，将叠加原理应用于有限变形，利用旋转变张量引入类似科里奥利力的项。
• 通过将应力张量按应变张量的幂级数展开，推导出小扰动下的线性叠加定律。
• 推导出关键方程（8b），该方程描述了应力变化率与变形速度张量及应变张量之间的关系，适用于任意有限变形。
• 通过级数展开（8c）从应力演化方程中消去应变张量，得到以应力不变量表示的应变能的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖经验拟合的前提下，从基本原理出发推导出二次亨克西应变能？
• RQ2 确保在有限变形下具有旋转不变性并符合叠加原理的应变能函数的正确数学形式是什么？
• RQ3 为何对数应变张量是有限弹性中的合适度量？它与理想弹性材料物理行为之间有何关系？
• RQ4 在有限弹性背景下，应力与变形的线性叠加定律在何种条件下成立？
• RQ5 应变能函数如何表示为应力张量的幂级数？其中二次项具有何种意义？

主要发现

• 应变能函数被推导为对数应变张量的二次函数，确保了旋转不变性，并与叠加原理保持一致。
• 有限变形下的叠加定律以幂级数形式（方程8b）被推导出，适用于任意变形大小。
• 应变张量 $ e_{m n} $ 被表示为应力张量 $ \sigma'_{m n} $ 的级数，其中二次项在小变形下起主导作用。
• 推导表明，二次亨克西能模型是满足叠加原理与旋转不变性的最小且一致的模型。
• 应力率方程（9a）与（9b）在小扰动下退化为经典线性化形式，证实了与无穷小弹性理论的一致性。
• 该方法完全消除了位移场在最终方程中的存在，表明应力-应变关系仅依赖于变形速度场与旋转场。