[论文解读] The $b$-branching problem in digraphs

Naonori Kakimura, Naoyuki Kamiyama+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 21被引用 5

一句话总结

本论文将有向图中的b-分支问题引入为分支问题的推广，其中每个顶点的入度至多为b(v)，结合了度约束拟阵与稀疏拟阵。提出了一种用于最大权b-分支的多阶段贪心算法，并证明了不相交b-分支的打包定理，确立了b-分支多面体的整数分解性质。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the concept of $b$-branchings in digraphs, which is a generalization of branchings serving as a counterpart of $b$-matchings. Here $b$ is a positive integer vector on the vertex set of a digraph, and a $b$-branching is defined as a common independent set of two matroids defined by $b$: an arc set is a $b$-branching if it has at most $b(v)$ arcs sharing the terminal vertex $v$, and it is an independent set of a certain sparsity matroid defined by $b$. We demonstrate that $b$-branchings yield an appropriate generalization of branchings by extending several classical results on branchings. We first present a multi-phase greedy algorithm for finding a maximum-weight $b$-branching. We then prove a packing theorem extending Edmonds' disjoint branchings theorem, and provide a strongly polynomial algorithm for finding optimal disjoint $b$-branchings. As a consequence of the packing theorem, we prove the integer decomposition property of the $b$-branching polytope. Finally, we deal with a further generalization in which a matroid constraint is imposed on the $b(v)$ arcs sharing the terminal vertex $v$.

研究动机与目标

• 将有向图中经典分支问题推广，允许每个顶点的入度有界为b(v) > 1。
• 将分支问题的基本结果（如最大权算法与不相交打包定理）推广到该一般化设置中。
• 证明b-分支多面体具有整数分解性质。
• 通过在每个顶点进入的弧上施加任意拟阵约束，进一步推广该模型。

提出的方法

• 将b-分支定义为两个拟阵的交集：度约束拟阵（Iin）和由|F[X]| ≤ b(X) − 1对所有X ⊆ V定义的稀疏拟阵（Isp）。
• 设计一种多阶段贪心算法，通过迭代地在其中一个拟阵中寻找最优独立集，对满足|F[X]| = b(X)的强连通分量进行收缩，并递归处理。
• 使用对偶调整机制，在弧权为整数时保持整数最优对偶解。
• 应用类似于开花算法的收缩-展开技术，其中将入度达到上限的强连通分量收缩，并在后续阶段展开。
• 通过将每个顶点的均匀拟阵替换为任意拟阵，将算法扩展到拟阵受限的b-分支问题。
• 采用一种变换，将不相交b-分支打包问题转化为在具有修改弧集与权重的辅助有向图上的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将最大权分支算法推广，使每个顶点的有界入度b(v) > 1，同时保持效率与整数性？
• RQ2 是否存在一个关于k个不相交b-分支的打包定理，其入度指定为d−_Bi(v) = bi(v)，类似于Edmonds的不相交分支定理？
• RQ3 b-分支多面体是否具有整数分解性质？
• RQ4 多阶段贪心算法能否扩展到每个顶点的入边集受任意拟阵约束的情形？

主要发现

• 用于最大权b-分支的多阶段贪心算法时间复杂度为O(|V||A|)，当权重为整数时可构造整数最优对偶解。
• 建立了关于入度指定为d−_Bi(v) = bi(v)的k个不相交b-分支的打包定理，推广了Edmonds的不相交分支定理。
• b-分支多面体具有整数分解性质，通过打包定理及向辅助有向图的变换得以证明。
• 寻找最优不相交b-分支的算法可在强多项式时间内运行。
• 多阶段贪心算法被扩展至拟阵受限b-分支问题，其中每个顶点的入边集受秩为b(v)的任意拟阵约束。
• b-分支问题被证明是二分图中可解的U-可行t-匹配问题的特例。