[论文解读] The Bang Calculus and the Two Girard's Translations

Giulio Guerrieri, Giulio Manzonetto|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2019

Logic, programming, and type systems被引用 7

一句话总结

本文引入了bang演算作为统一框架，通过显式的box操作符，同时涵盖按名调用（CbN）和按值调用（CbV）lambda演算，实现了语法与语义上的比较。它证明了Girard将直觉逻辑蕴含映射到线性逻辑的两种翻译——(·)N与(·)V——分别精确对应于CbN与CbV求值策略，并展示了bang演算如何为将CbN理论概念（如Böhm树、全抽象性）推广至CbV提供标准设置，方法是限制于bang演算的CbV片段。

ABSTRACT

We study the two Girard's translations of intuitionistic implication into linear logic by exploiting the bang calculus, a paradigmatic functional language with an explicit box-operator that allows both call-by-name and call-by-value lambda-calculi to be encoded in. We investigate how the bang calculus subsumes both call-by-name and call-by-value lambda-calculi from a syntactic and a semantic viewpoint.

研究动机与目标

• 在单一形式系统下统一研究按名调用（CbN）与按值调用（CbV）lambda演算。
• 研究Girard将直觉逻辑蕴含映射到线性逻辑的两种翻译(·)N与(·)V如何分别对应于CbN与CbV求值机制。
• 证明带有显式box操作符的bang演算在语法与语义上均同时涵盖CbN与CbV演算。
• 通过限制于bang演算的CbV片段，使成熟发展的CbN理论概念（如可解性、Böhm树、全抽象性）得以推广至CbV环境。
• 提供一个标准框架，使两种范式的操作语义与指称语义可统一研究，从而避免重复开发。

提出的方法

• 使用bang演算作为带有显式box操作符的函数式语言，以编码CbN与CbV lambda演算。
• 论文分析了Girard的两种翻译：(·)N将A⇒B映射为!A⊸B，而(·)V将其映射为!(A⊸B)，分别对应CbN与CbV求值。
• 通过保持β-归约的翻译，展示了语法上的包含关系：(·)N通过线性逻辑证明网中的剪切消去模拟CbN，而(·)V模拟CbV。
• 使用关系模型建立语义上的包含关系：论文定义了两个类型系统⊢v与⊢!，并证明对所有项t都有|t|v⊆JtvK，表明CbV解释是bang演算解释的细化。
• 论文使用基于集合与关系的关系模型U，其中类型被解释为多重集，函数类型被解释为有序对，以比较两种解释。
• 论文推测，CbV解释|t|v可通过对bang演算解释JtvK迭代应用投影pr1来恢复，暗示CbV语义的范畴重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 bang演算如何作为CbN与CbV lambda演算的统一框架？
• RQ2 Girard的两种翻译(·)N与(·)V与CbN与CbV求值策略之间存在何种精确的语法与语义对应关系？
• RQ3 是否能通过bang演算将CbN理论概念（如可解性、Böhm树、全抽象性）推广至CbV？
• RQ4 为何关系解释|t|v与JtvK在一般情况下不同，它们之间有何联系？
• RQ5 是否能通过如投影等范畴操作，系统性地从bang演算解释JtvK中恢复CbV解释|t|v？

主要发现

• bang演算在语法上同时涵盖CbN与CbV lambda演算，因为两种求值策略可通过同一演算在不同类型约束下编码。
• Girard的两种翻译(·)N与(·)V分别精确对应于CbN与CbV求值机制，其中(·)N将所有参数置于box中，而(·)V仅将值置于box中。
• 在关系模型中，对所有项t，CbV解释|t|v是bang演算解释JtvK的子集，但二者一般不相等。
• 反例s = λxxx表明|s|v ≠ JsvK，证明CbV解释比bang演算解释更严格。
• 论文推测，CbV解释|t|v可通过对JtvK迭代应用投影pr1，沿项的结构恢复，暗示CbV语义的范畴重构。
• bang演算提供了一个标准框架，使得CbN理论概念可被推广，其CbV对应物可通过限制于bang演算的CbV片段获得。