[论文解读] The Barrier Surface in the Cooperative Football Differential Game

Eloy García, David W. Casbeer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2020

Guidance and Control Systems参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文解决了涉及两名追捕者和一名逃避者的一类合作足球微分对策中的‘类型博弈’问题，通过闭式表达显式构造了分割状态空间为双方获胜区域的屏障面。利用阿波罗尼斯圆与几何分析，推导出在速度相等与追捕者更快两种情形下的屏障面显式表达式，从而实现实时判断最优博弈下的胜负结果。

ABSTRACT

This paper considers the blocking or football pursuit-evasion differential game. Two pursuers cooperate and try to capture the ball carrying evader as far as possible from the goal line. The evader wishes to be as close as possible to the goal line at the time of capture and, if possible, reach the line. In this paper the solution of the game of kind is provided: The Barrier surface that partitions the state space into two winning sets, one for the pursuer team and one for the evader, is constructed. Under optimal play, the winning team is determined by evaluating the associated Barrier function.

研究动机与目标

• 为双追捕者、单逃避者的足球微分对策预先确定博弈结果，即求解类型博弈。
• 以闭式表达显式构造屏障面，将状态空间划分为追捕者团队获胜区域与逃避者获胜区域。
• 推广先前工作，同时处理速度相等与追捕者速度不同的情形，包括追捕者更快的情况。
• 通过圆与双曲线提供屏障面的几何可解释性截面，优于不够明确的“基曲线”方法。
• 通过提供计算上可行的方法，使自主系统能够基于初始状态实时评估团队胜负。

提出的方法

• 利用汉密尔顿-雅可比-伊斯盖斯（HJI）方程框架推导屏障面，通过每名追捕者-逃避者配对的阿波罗尼斯圆几何方法获得显式解。
• 解将六维状态空间划分为两个区域：逃避者获胜区域（到达球门线）与追捕者获胜区域（在球门线前完成捕获）。
• 对于屏障面的每个区域，论文识别出活跃的追捕者（们），并推导相应的几何条件：阿波罗尼斯圆与球门线或场地边界的相切。
• 基于逃避者相对于追捕者与球门线的位置，将屏障面分段构造为五种不同情形，每种情形由一个二次方程定义。
• 通过固定追捕者位置，将屏障面的截面投影至二维，得到由圆弧与双曲线构成的边界，描述获胜集的边界。
• 该方法可推广至多追捕者情形，并在存在多个逃避者时支持基于分配的分解，确保解的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双追捕者、单逃避者的合作足球微分对策中，分离获胜区域的屏障面的显式几何结构是什么？
• RQ2 当追捕者速度不同时，屏障面相较于速度相等情形有何变化？
• RQ3 屏障面能否以闭式表达，而无需依赖隐式或非几何构造（如‘基曲线’）？
• RQ4 阿波罗尼斯圆在确定最优捕获条件及获胜集边界中起什么作用？
• RQ5 如何利用屏障面实时判断在最优博弈下逃避者或追捕者团队获胜？

主要发现

• 在速度相等与追捕者更快两种情形下，屏障面均以闭式表达显式构造，无需依赖隐式或数值近似。
• 屏障面的截面由五段不同的圆弧与双曲线段组成，清晰地提供了获胜边界的几何解释。
• 在速度相等情形下，屏障面通过阿波罗尼斯圆与球门线的相切条件推导得出，表达为分段二次函数。
• 在速度不同的追捕者更快情形下，屏障面通过考虑相对速度比γ₁与γ₂构造，根据逃避者的位置形成不同的几何区域。
• 屏障面是状态空间中的六维曲面，但其截面可在二维中解析求解并可视化，适用于控制系统的实际部署。
• 该方法可通过在初始状态处评估屏障函数，立即确定获胜团队，并额外提供捕获模式（单个或双名追捕者）的洞察。