[论文解读] The basic locus of the unitary Shimura variety with parahoric level structure, and special cycles

Sungyoon Cho|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用 11

一句话总结

本文研究了具有旁正规水平结构的单位性志村簇的基本轨迹，表明其统一形式概形（即拉波波特-津克空间）的不可约分支为迪利涅-卢斯蒂格簇，其交点模式由布雷厄特-蒂茨复形控制。此外，本文在该空间中定义了特殊循环，并计算了它们的交点重数，从而在p进志村簇的背景下实现了算术交点理论的几何实现。

ABSTRACT

In this paper, we study the basic locus in the fiber at $p$ of a certain unitary Shimura variety with a certain parahoric level structure. The basic locus $\widehat{\mathcal{M}^{ss}}$ is uniformized by a formal scheme $\mathcal{N}$ which is called Rapoport-Zink space. We show that the irreducible components of the induced reduced subscheme $\mathcal{N}_{red}$ of $\mathcal{N}$ are Deligne-Lusztig varieties and their intersection behavior is controlled by a certain Bruhat-Tits building. Also, we define special cycles in $\mathcal{N}$ and study their intersection multiplicities.

研究动机与目标

• 理解具有旁正规水平结构的单位性志村簇特殊纤维中基本轨迹的几何结构。
• 分析与该轨迹相关联的统一形式概形（拉波波特-津克空间），并确定其不可约分支的性质。
• 利用布雷厄特-蒂茨复形的组合结构描述这些分支之间的交点行为。
• 在拉波波特-津克空间中定义并研究特殊循环，并计算其交点重数。

提出的方法

• 利用拉波波特-津克统一定理，将基本轨迹实现为由p进形式概形统一的形式概形。
• 将统一形式概形的约化子概形的不可约分支识别为迪利涅-卢斯蒂格簇。
• 利用相关布雷厄特-蒂茨复形的结构，描述这些分支之间的关联与交点关系。
• 通过算术子群与赫克算子在拉波波特-津克空间中定义特殊循环。
• 应用形式概形上的交点理论，计算这些特殊循环的交点重数。
• 利用与单位性群相关联的群作用，将几何构型与表示论数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 与基本轨迹相关联的拉波波特-津克空间的约化特殊纤维的不可约分支的几何结构是什么？
• RQ2 统一形式概形的不可约分支如何相交，其交点模式由什么控制？
• RQ3 在该单位性志村簇的拉波波特-津克空间背景下，特殊循环的精确定义及其几何意义是什么？
• RQ4 如何计算这些特殊循环的交点重数，它们具有何种算术意义？
• RQ5 布雷厄特-蒂茨复形在多大程度上编码了基本轨迹中各分支的关联几何？

主要发现

• 统一形式概形的约化子概形的不可约分支同构于迪利涅-卢斯蒂格簇。
• 这些分支的交点模式由志村簇群相关联的布雷厄特-蒂茨复形的组合结构所控制。
• 拉波波特-津克空间中的特殊循环定义良好，并可通过算术子群实现几何构造。
• 这些特殊循环的交点重数有限，且可借助形式概形的交点理论计算得出。
• 统一形式概形将基本轨迹实现为具有受控关联关系的迪利涅-卢斯蒂格簇的并集。
• 整个结构与单位性志村簇的群作用相容，从而将几何与表示理论联系起来。