[论文解读] The Basins of Attraction in a Modified May-Holling-Tanner Predator-Prey Model with Allee Effect
本文分析了一个改进的May–Holling–Tanner捕食者-猎物模型，其中包含线性功能性反应、猎物中的Allee效应以及捕食者的替代食物。利用动力系统理论，识别出分隔共存、振荡和灭绝的分离子线和吸引盆，证明了鞍结、Hopf和Bogdanov–Takens分支的存在，表明强烈的Allee效应会缩小共存区域并增加对参数变化的敏感性。
We analyse a modified May-Holling-Tanner predator-prey model considering an Allee effect in the prey and alternative food sources for predator. Additionally, the predation functional response or predation consumption rate is linear. The extended model exhibits rich dynamics and we prove the existence of separatrices in the phase plane separating basins of attraction related to oscillation, co-existence and extinction of the predator-prey population. We also show the existence of a homoclinic curve that degenerates to form a limit cycle and discuss numerous potential bifurcations such as saddle-node, Hopf, and Bogadonov-Takens bifurcations. We use simulations to illustrate the behaviour of the model.
研究动机与目标
- 研究强或弱Allee效应对改进Holling–Tanner模型中捕食者-猎物动态的影响。
- 分析捕食者替代食物来源对系统稳定性与共存的影响。
- 研究参数变化在塑造吸引盆和决定长期种群结果中的作用。
- 识别并表征系统中的分支，如鞍结、Hopf和Bogdanov–Takens分支。
- 确定Allee阈值和捕食者增长率如何影响共存吸引盆的大小和结构。
提出的方法
- 通过微分同胚将原始模型（含Allee效应和替代食物）转化为拓扑等价系统，以简化分析。
- 利用雅可比矩阵的迹分析平衡点，以确定稳定性，特别关注$P_3$、$P_4$和$P_2$。
- 将分离子线识别为鞍平衡点（特别是$P_1$）的稳定流形，这些流形将吸引盆分隔开。
- 使用数值模拟可视化吸引盆，并说明在不同参数下动态转变的特征。
- 采用分岔图和参数扫描以定位鞍结、Hopf和Bogdanov–Takens分支。
- 在$S = s/(Kr)$、$M$、$Q$和$C$变化的条件下分析模型，以评估对参数的敏感性及共存区域。
实验结果
研究问题
- RQ1在改进的May–Holling–Tanner模型中，强Allee效应的引入如何改变吸引盆的结构？
- RQ2在$P_1$的稳定流形在分离长期结果（如共存与灭绝）中起到什么作用？
- RQ3在何种参数条件下系统发生鞍结分支，这如何影响平衡点结构？
- RQ4当捕食者的内在增长率$s$或猎物的承载能力$K$发生变化时，共存吸引盆的大小如何变化？
- RQ5Allee阈值$m$对捕食者-猎物共存的稳定性和持久性有何影响？
主要发现
- 当$S < S_k$时，平衡点$(0, C)$是全局吸引的，对应猎种群灭绝和捕食者通过替代食物持续存在。
- 当$S_k < S < S_k^*$时，平衡点$P_3$被一个稳定极限环包围，表明种群出现持续振荡。
- 当$S > S_k^*$时，平衡点$P_3$变为稳定，表明无振荡的共存。
- Allee效应缩小了正平衡点的吸引盆，尤其在强Allee条件下，增加了灭绝风险。
- 当判别式$\Delta = 0$时，系统发生鞍结分支，导致平衡点的产生或消失。
- 当$S = f(E)$时，在尖点处发生Bogdanov–Takens分支，表明涉及多个分支的复杂动态转变。
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