[论文解读] The Bass and topological stable ranks for algebras of almost periodic functions on the real line

Raymond Mortini, Rudolf Rupp|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2014

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用 5

一句话总结

该论文证明了，当实直线上的几乎周期函数代数的Bohr谱位于ℝ的子半群Λ中时，若由Λ生成的ℚ-向量空间具有无限维，则该代数的Bass稳定秩与拓扑稳定秩均为无穷。证明方法基于Kronecker逼近定理，以及利用三角多项式逼近几乎周期函数，将Suárez对完整几乎周期代数AP的结果推广至一大类子代数，包括AP⁺，并表明某些元组无法被可逆元组逼近，从而推出稳定秩为无穷。

ABSTRACT

Let $\\Lambda$ be a sub-semigroup of the reals. We show that the Bass and topological stable ranks of the algebras ${\ m AP}_\\Lambda=\\{f\\in {\ m AP}: \\sigma(f)\\subseteq \\Lambda\\}$ of almost periodic functions on the real line and with Bohr spectrum in $\\Lambda$ are infinite whenever the algebraic dimension of the $\\mathbb Q$-vector space generated by $\\Lambda$ is infinite. This extends Su\\'arez's result for ${\ m AP}_\\mathbb R={\ m AP}$. Also considered are general subalgebras of AP.

研究动机与目标

• 将Suárez关于完整几乎周期代数AP的无限稳定秩结果，推广至Bohr谱位于子半群Λ⊆ℝ中的子代数APΛ。
• 确定APΛ的Bass与拓扑稳定秩为无穷或有限的条件，特别是基于Λ的ℚ-张成空间的代数维数。
• 通过避免依赖Corona定理或C*-代数对偶性的方法，分析子代数AP⁺（其谱位于ℝ⁺中）的稳定秩。
• 为确定AP子代数中稳定秩提供一个通用框架，通过构造明确的不可约元组，这些元组无法被可逆元组逼近。

提出的方法

• 在连续与离散两种形式下使用Kronecker逼近定理，以建立某些指数轨道在N-环面上的稠密性。
• 应用Fourier-Bohr级数表示，并利用具有受控谱的广义三角多项式对几乎周期函数进行一致逼近。
• 采用构造性方法，构建一个函数G，使得元组(F₁,…,Fₙ,G)在代数A中可逆，但在AP中不可约，从而推出Bass稳定秩为无穷。
• 通过在上半平面的积分估计，证明AP⁺中函数的全纯延拓的边界值具有ℝ⁺中的谱，从而确立AP⁺为在ℂ⁺上具有有界全holomorphic延拓的几乎周期函数的集合。
• 运用反证法，表明某些元组(F₁,…,Fₙ)无法在代数中被可逆N元组逼近，利用了在AP中相关元组的不可约性。
• 考虑包含函数Fⱼ(t) = e^{iλ_{2j−1}t} + e^{iλ_{2j}t} − 1（其中λⱼ在ℚ上线性无关）的AP的任意子代数A，并证明其Bass稳定秩为无穷。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种谱Λ⊆ℝ条件下，APΛ的Bass稳定秩为无穷？
• RQ2 能否在不依赖Rieffel关于C*-代数中Bass与拓扑稳定秩关系结果的前提下，确定AP⁺的稳定秩？
• RQ3 是否可以显式构造AP子代数中的元组，使其无法被可逆元组逼近，从而证明稳定秩为无穷？
• RQ4 Λ的ℚ-向量空间维数如何影响APΛ的稳定秩？
• RQ5 Wiener型代数APW⁺与AP⁺的稳定秩之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当由Λ生成的ℚ-向量空间具有无限维时，APΛ的Bass与拓扑稳定秩为无穷。
• AP⁺的稳定秩为无穷，且该结论通过一种不依赖Rieffel在C*-代数中结果的直接方法得以确立。
• 元组(F₁,…,Fₙ)，其中Fⱼ(t) = e^{iλ_{2j−1}t} + e^{iλ_{2j}t} − 1，无法在任何包含1和所有Fⱼ的子代数A⊆AP中被可逆N元组逼近，从而表明此类代数的Bass稳定秩为无穷。
• 代数AP⁺与在上半平面ℂ⁺中具有有界全纯延拓的几乎周期函数的集合完全一致。
• Wiener型代数APW⁺的稳定秩为无穷，因为其为AP⁺的子代数，且具有相同的谱与解析结构。
• 对任意N，由1与函数Fⱼ生成的代数A的Bass稳定秩至少为N+1；由于N可任取，故有bsr(A) = ∞。